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Gaußsche Zahlenebene

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

TheNeighbor12 aktiv_icon

21:00 Uhr, 23.10.2021

Hallo!

Kann mir jemand kurz behilflich sein. Und zwar bin ich mir nicht sicher, ob das Ergebnis hier wirklich stimmt, wahrscheinlich habe ich irgendwo einen Denkfehler.

〉

Aufgabe:

Beschreiben und skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge aller

z

∈

C,

welche die folgende Bedingung erfüllt.

| \frac{z}{z + 1} | = 2

〉

Mein Ansatz:

| \frac{z}{z + 1} | = 2

| \frac{x + i \cdot y}{(x + i \cdot y) + 1} | = 2

\sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2} + 1}} = 2

\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2} + 1} = 2^{2}

x^{2} + y^{2} = 4 \cdot (x^{2} + y^{2} + 1)

x^{2} + y^{2} = 4 x^{2} + 4 y^{2} + 4

- 3 x^{2} = 3 y^{2} + 4

- x^{2} = y^{2} + \frac{4}{3}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

21:24 Uhr, 23.10.2021

.
".. wahrscheinlich habe ich irgendwo einen ..Fehler"

\to

erster kleiner Hinweis:

der Betrag von

\to z + 1 =

(x+iy)

+ 1 = (x + 1) + i y

ist

\to

| z + 1 | = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}} ... .

. also NICHT

\to \sqrt{x^{2} + y^{2} + 1}

magst du jetzt neu rechnen ? ..
.

TheNeighbor12 aktiv_icon

21:41 Uhr, 23.10.2021

Na logo, vielleicht klappt es ja diesmal. :-)

| \frac{z}{z + 1} | = 2

| \frac{x + i \cdot y}{(x + 1) + i \cdot y} | = 2

\sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{{(x + 1)}^{2} + y^{2}}} = 2

\frac{x^{2} + y^{2}}{{(x + 1)}^{2} + y^{2}} = 4

x^{2} + y^{2} = 4 \cdot (x^{2} + 2 x + 1 + y^{2})

x^{2} + y^{2} = 4 x^{2} + 8 x + 4 + 4 y^{2}

- 3 x^{2} - 3 y^{2} = 8 x + 4

rundblick aktiv_icon

21:58 Uhr, 23.10.2021

.
" vielleicht klappt es ja diesmal."

na ja, mit

\to x^{2} + \frac{8}{3} x .

+ y^{2} = - \frac{4}{3}

bist du nun schon auf gutem Weg, um die gestellte Aufgabe zu bewältigen

\to

"Beschreiben und skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge aller

z

∈ C,.."

also mach mal weiter

\to .

.

.

TheNeighbor12 aktiv_icon

22:21 Uhr, 23.10.2021

Hm, aber wenn ich

x^{2} + \frac{8}{3} x + y^{2} = - \frac{4}{3}

in GeoGebra eintippe, dann erhalte ich irgendwie
keinen Graph...

Sollte es eventuell nicht so heißen:

x^{2} + y^{2} = - (\frac{8}{3} x) - \frac{4}{3}

rundblick aktiv_icon

22:34 Uhr, 23.10.2021

.
"in GeoGebra eintippe, dann erhalte ich irgendwie keinen Graph... "

\to

dann hast du vermutlich das Zebra falsch "gefüttert" .. :-)

also:

x^{2} + \frac{8}{3} x .

+ y^{2} = - \frac{4}{3}

und nun

. .

. auf beiden Seiten

\to + \frac{16}{9} .

. addieren .. (statt wie du meinst

- \frac{8}{3} x) \Rightarrow

{(x + \frac{4}{3})}^{2} + y^{2} = \frac{4}{9} ...

. vielleicht kommt dir sowas dann doch irgendwie bekannt vor ?

\to .

TheNeighbor12 aktiv_icon

22:41 Uhr, 23.10.2021

Tut mir leid, dass ich heute leider keinen Durchblick habe, aber woher kommen die

\frac{16}{9}

plötzlich? Hab ich da irgendwie etwas übersehen?

rundblick aktiv_icon

22:50 Uhr, 23.10.2021

x^{2} + \frac{8}{3} x .

+ y^{2} = - \frac{4}{3}

"Hab ich da irgendwie etwas übersehen? )

hm.. es könnte vielleicht schon lange her sein,
dass dir mal sowas wie die Binom-Formeln begegnet sind?

also: wie war das mit der "quadratischen Ergänzung" zu

\to x^{2} + \frac{8}{3} x .

. ?
(der Hinweis oben waren die zwei Punkte .. :-) )

also: geht es jetzt

(.

. möglichst heute noch!) weiter ?

\to

TheNeighbor12 aktiv_icon

23:11 Uhr, 23.10.2021

Hm, mir ist nur nicht ganz klar, woher die

\frac{16}{9}

grundsätzlich kommen? Woher nehmen wir die plötzlich? Wir das einfach so ergänzt bzw. dazu addiert...?

x^{2} + (\frac{8}{3}) x + \frac{16}{9} + y^{2} = \frac{4}{9}

P . S

. Ich weiß, dass ich heute etwas langsam bin, wenn es für Sie langsam zu spät wird, dann ist ja morgen auch noch ein Tag. ;-)

rundblick aktiv_icon

23:39 Uhr, 23.10.2021

.
"woher die

\frac{16}{9}

grundsätzlich kommen?"

habe ich dir oben erklärt - vielleicht solltest du die Antworten lesen und mitdenken..

Ergebnis also:

bei

\to {(x + \frac{4}{3})}^{2} + y^{2} = \frac{4}{9}

handelt es sich um eine Punktmenge des Typs mit der allgemeinen Gleichung

{(x - x_{m})}^{2} + {(y - y_{m})}^{2} = r^{2} ... ... ... . .

. hoffentlich bekannt?

komplexe Zahlen

z

sind geordnete Paare reeller Zahlen

\to z = (x, y)

...(Normalformdarstellung z=x+iy)

wo liegen bei deiner Aufgabe nun alle

z \in ℂ,

wenn gilt

\to {(x + \frac{4}{3})}^{2} + y^{2} = \frac{4}{9}

(Antwort-Text?

\Rightarrow .

. ?

sowas kann Mann leicht zeichnen ("einstechen und einmal voll durchdrehen .. :-) )
und damit hast du den Teil "skizziere" erfolgreich geschafft ..
ok, sehe gerade du hast es einge"kreis"t ..:-) - fehlen nur die Daten von Mittelpunkt und Radius ..

bleibt der Aufgaben-Teil "Bechreibung" .. den kannst du ohne Rechnung erledigen, denn
Beträge sind Abstände

\to

| z | \leftarrow

Entfernung des Punktes

z = (x, y)

vom Nullpunkt

| z + 1 | \leftarrow

Entfernung des Punktes

z + 1 = (x + 1, y)

vom Nullpunkt

schreib also nun die die Abstandsgeschichte

\to | z | = 2 \cdot | z + 1 | . .

. mit einem schönen Text auf.

\Rightarrow ...

.

fertig.

TheNeighbor12 aktiv_icon

20:09 Uhr, 24.10.2021

〉

habe ich dir oben erklärt..

Jetzt verstehe ich was Sie mit der quadratischen Ergänzung genau meinen, tut mir leid,
das wurde in der Vorlesung noch nicht behandelt, kommt wahrscheinlich aber diese
Woche noch... Jetzt weiß ich wenigstens schon wie der Hase läuft, danke! ;-)

〉

wo liegen bei deiner Aufgabe nun alle

z

∈ ℂ?

Hier bin ich mir leider nicht ganz so sicher, aber vielleicht so?

Menge

M = {z

∈

C | {(x + \frac{4}{3})}^{2} + y^{2} = \frac{4}{9}}

Die Menge

M

beschreibt einen Kreis mit
Mittelpunkt

- \frac{4}{3}

und Radius

\frac{2}{3},

aus dem 0 entfernt
ist.

〉

fehlen nur die Daten von Mittelpunkt und Radius ..

Mittelpunkt

M = (- \frac{4}{3}, 0)

Radius

r = \frac{2}{3}

〉

bleibt der Aufgaben-Teil "Bechreibung"..

| z |

← Entfernung des Nullpunktes

= \sqrt{\frac{16}{9}}

|z+1|← Entfernung des Punktes

z + 1 = \sqrt{\frac{49}{9}}

Ist das so okay?

rundblick aktiv_icon

21:23 Uhr, 24.10.2021

.
"Die Menge

M

beschreibt einen Kreis mit
Mi ttelpunkt

- \frac{4}{3}

und Radius

\frac{2}{3}, ... ... ...

\leftarrow .

. jeder Punkt in

ℂ

hat 2 Koordinaten, auch Mi. !
aus dem 0 entfernt ist."

... ... ... ...

↑ .

. was meinst du denn damit ??

\to

die Menge

M

enthält ALLE Punkte

z = (x, y)

AUF der KREISLINIE

"bleibt der Aufgaben-Teil "Bechreibung"..

| z |

← Entfernung des Nullpunktes

= \sqrt{\frac{16}{9}}

|z+1|← Entfernung des Punktes

z + 1 = \sqrt{\frac{49}{9}}

Ist das so okay?" .. NEIN,

... ... ... ... ...

↑

..was hast du dir denn da gedacht?

\to

Ich habe dir oben geschrieben, dass du für die "Bechreibung" nichts neu rechnen sollst,
sondern

\to

du sollst diese Abstandsgeschichte →|z|=2⋅|z+1|... mit einem schönen TEXT aufschreiben.

also:->

...

.
.

TheNeighbor12 aktiv_icon

21:46 Uhr, 24.10.2021

Aber wie soll ich das denn genau als eine Menge zusammenfassen?

Lautet die Menge

M

also dann so:

M = {z

∈

C | z = (x, y)}

〉 | z | = 2 \cdot | z + 1 |

Ich weiß aber leider nicht was das hier genau bedeuten soll...
Ist das die Entfernung des Punktes

z + 2 = (x + 2, y)

vom Nullpunkt?

P . S

. Scheinbar haben Sie mir vor 7 Minuten geantwortet, jedoch sehe ich keine Antwort irgendwie...

rundblick aktiv_icon

22:02 Uhr, 24.10.2021

.
"-> du sollst diese Abstandsgeschichte →|z|=2⋅|z+1|... mit einem schönen TEXT aufschreiben."

hm .. und was meinst du zu folgendem Text:

Jeder Punkt

z

der Lösungsmenge (also

z

auf der oben gefundenen Kreislinie )
ist doppelt soweit vom Nullpunkt entfernt wie der Punkt

z + 1

.

nebenbei:
die beiden oben zu deiner Kreislinie gestellten Fragen hast du noch nicht beantwortet..

.

TheNeighbor12 aktiv_icon

22:13 Uhr, 24.10.2021

Hm, wäre das die Antwort gewesen? Und das gehört alles zu der Beschreibung, also quasi nur die Abstände?

Kennen Sie vielleicht irgendwo eine gute Seite wo ich das mal alles nachlesen kann bezüglich den Abständen? Ich glaube, mir fehlen da ein paar Infos...

Welche zwei Fragen meinen Sie genau...?

rundblick aktiv_icon

22:23 Uhr, 24.10.2021

"Welche zwei Fragen meinen Sie genau...?"
Mann!->

\to

Koordinaten des Mittelpunktes ?

\to

was meinst du mit ?

\to

"aus dem 0 entfernt ist."

.

TheNeighbor12 aktiv_icon

22:27 Uhr, 24.10.2021

〉

Koordinaten des Mittelpunktes...

Die Koordinaten des Mittelpunktes habe ich ganz oben schon angegeben...

Mittelpunkt

M =

(−4/3,0)

Radius

r = 23

〉

aus dem 0 entfernt...

Das habe ich irgendwo mal gelesen, aber es ist ein kompletter Blödsinn, egal...

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