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Gebrochen rationale ln Funktion ableiten???

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Tags: Differentiation, Funktion, ln-Funktion

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13:23 Uhr, 09.12.2010

Hallo!

Kann mir einer idiotensicher erklären, wie man Funktionen dieser Art ableitet? Ich steh total aufm Schlauch...:(

$f (x) = \frac{1}{1 - \ln (1 + x)}$

Bin dankbar für jeden hilfreichen Tipp.

Liebe Grüße,

Rei

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
e-Funktion
ln-Funktion

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13:36 Uhr, 09.12.2010

Hallo,
da die Funktion ein Quotient ist, kann man hier ( als erstes ) die Quotientenregel verwenden. Man kann die Funktion auch umschreiben:

f (x) = \frac{1}{1 - \ln (1 + x)} = {(1 - \ln (1 + x))}^{- 1}

jetzt kann man auch ( nur ) die Kettenregel verwenden.

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14:13 Uhr, 09.12.2010

okay, ich hab's soweit geschafft:

$f (x) = {(1 - \ln (1 + x))}^{- 1} = u^{- 1} w o b e i u = 1 - \ln (1 + x) u^{'} = - \frac{1}{1 + x} a l s o i s t f^{'} (x) = - 1 u^{- 2} \cdot u^{'} = - 1 {(1 - \ln (1 + x))}^{- 2} \cdot (- \frac{1}{1 + x)})$

ist das richtig soweit? Und wie rechne ich das aus? also speziell die -ln(1+x)^-2 ???

Lieben Gruß,

Rei

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14:21 Uhr, 09.12.2010

Ja, das ist richtig, das kannst du so stehen lassen, der Ausdruck lässt sich nicht mehr vereinfachen.

edit:

Ja, abgesehen von dem Minus.

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14:42 Uhr, 09.12.2010

super :)

und wie komme ich auf die 2. Ableitung? Mit der Produktregel, oder? Aber da ist mir die -1 ganz am Anfang ein Dorn im Auge... kann ich die einfach in die erste Klammer miteinbeziehen? Also im Grunde nur die Vorzeichen ändern so dass da steht:

$f^{'} (x) = {(- 1 + \ln (1 + x))}^{- 2} \cdot (- \frac{1}{(1 + x)})$

Oder gibt es eine Form der Produktregel für 3 Funktionen?

Lieben Gruß,

Rei

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14:50 Uhr, 09.12.2010

Ja, das Minus vor dem

\ln

- Term hebt sich ja auf mit dem Minus vor dem Quotienten:

f^{ʹ} (x) = - \frac{1}{1 + x} \cdot (- 1) \cdot (1 - \ln (1 + x))^{- 2} = \frac{1}{1 + x} \cdot (1 - \ln (1 + x))^{- 2}

Das kannst du jetzt ( erst ) mit der Produktregel ableiten oder ( erst ) mit der Kettenregel, es gilt ja:

\frac{1}{1 + x} \cdot (1 - \ln (1 + x))^{- 2} = {((1 + x) \cdot (1 - \ln (1 + x))^{2})}^{- 1}

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15:23 Uhr, 09.12.2010

bei der Kettenregel hab ich mich total verkettet und habs daher mit der Produktregel probiert... da kommt aber ne echt monströse Zahl raus, wenn ich mich denn nicht verrechnet habe :O

also die Funktionen einzeln abgeleitet:

$a^{'} (x) = - 1 {(1 + x)}^{- 2} u n d b^{'} (x) = 2 (1 - \ln {(1 + x)}^{- 3} (\frac{1}{1 + x}))$

was dann ergibt:

$f^{'} (x) = - 1 {(1 + x)}^{- 2}) \cdot {(1 - \ln (1 + x)}^{- 2}) + {(1 + x)}^{- 1} \cdot (2 (1 - \ln {1 + x)}^{- 3} \cdot \frac{1}{1 + x)})$

Ich hoffe das stimmt immer noch....??

Lieben Gruß,

Rei

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15:32 Uhr, 09.12.2010

Das gleiche habe ich auch raus mit der Produktregel, mit der Kettenregel habe ich ( nicht vereinfacht ):

f^{ʺ} (x) = ((1 - \ln (1 + x))^{2} + (1 + x) \cdot (- \frac{1}{1 + x}) \cdot 2 \cdot (1 - \ln (1 + x))) \cdot (- 1) \cdot \frac{1}{{((1 + x) \cdot (1 - \ln (1 + x))^{2})}^{2}}

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23:15 Uhr, 09.12.2010

aber ist beides denn dasselbe? Das müsste doch schon der Fall sein, oder?

Lieben Gruß,

Rei

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09:41 Uhr, 10.12.2010

Ja, natürlich, die Ableitung muss immer gleich bleiben, egal was für eine Regel zuverwendest. Die zwei Ableitungen hier sind auch gleich.

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