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Gegeben sein ein Kartenspiel ?

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Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

MathFanatiker aktiv_icon

16:07 Uhr, 25.11.2021

Gegeben sei ein Kartenspiel mit 100 Spielkarten, wovon genau zwei Karten Joker seien. Nach guter Mischung werden die Karten in zwei Stapel mit jeweils 50Karten aufgeteilt. Diese seien mit Stapel 1 und Stapel 2 bezeichnet.

a) Angenommen, wir bekommen die Information, dass sich mindestens einer der beiden Joker in Stapel 1 befindet. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass sich der andere Joker ebenfalls in Stapel 1 befindet.

wie geht man an solche Aufgaben ran, wir sind bei Thema bedingte Wahrscheinlichkeiten. Aber irgendwie kann ich nix anfangen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

16:47 Uhr, 25.11.2021

Gesucht wird

P (B ∣ A)

mit

B =

"Beide Joker in Stapel 1" und

A

="Mindestens ein Joker in Stapel 1". Da

B

Teilmenge von

A

ist, gilt

P (B ∣ A) = P (B \cap A) / P (A) = P (B) / P (A)

.
Also musst du nur diese W-keiten berechnen.

supporter aktiv_icon

16:57 Uhr, 25.11.2021

Verwende für "mindestens 1 Karte" das Gegenereignis "keine Karte"!

P (A) = 1 - ...

HAL9000

17:03 Uhr, 25.11.2021

Das Gegenereignis zu

A

ist

A^{c}

... kein Joker in Stapel 1,

und Ereignis

B

ist gleichbedeutend mit "kein Joker in Stapel 2". Da beide Stapel gleich groß sind, gilt zudem

P (A^{c}) = P (B) = : p

, man spart sich also eine Teilrechnung hin zum Ergebnis

\frac{p}{1 - p}

MathFanatiker aktiv_icon

17:34 Uhr, 25.11.2021

das hatte ich alles auch bisher, aber ich kann irgendwie das A und das Komplement davon nicht zuordnen bzw bestimmen.

ich weiß dass ein stapel 50 karten hat und ich 2 joker habe

HAL9000

17:53 Uhr, 25.11.2021

"Kein Joker" heißt, dass alle 50 Karten aus den 98 Nichtjokerkarten stammen.

Der Gesamtraum besteht aber aus den Auswahlmöglichkeiten von 50 aus allen 100 Karten. Damit ist das von mir oben definierte

p

so berechenbar:

p = \frac{(\begin{array}{c} 98 \\ 50 \end{array})}{(\begin{array}{c} 100 \\ 50 \end{array})} = \frac{50 \cdot 49}{100 \cdot 99} = \frac{49}{198}

.

Kann man auch sukzessiv berechnen: Erste Karte kein Joker, dann zweite Karte kein Joker usw. ergibt

p = \frac{98}{100} \cdot \frac{97}{99} \cdot \dots \cdot \frac{49}{51}

.

Passend gekürzt landet man bei dem selben Wert wie oben.

MathFanatiker aktiv_icon

18:32 Uhr, 25.11.2021

verstehe so hatte ich das auch bzw ich wollte da mit kombinatorik teilweise argumentieren. aber das du berechnet hast ist das Komplement und das sind ungefähr 0,25

dann ist P(A) = 1 - 0,25 = 0,75 aber irgendwie macht das intuitiv keinen Sinn, es kann doch nicht sein dass die Wahrscheinlichkeit dass eine Karte mindestens in Stapel A liegt 75 prozent ist ?

MathFanatiker aktiv_icon

19:03 Uhr, 25.11.2021

P (B ∣ A) = \frac{P (B) P (A ∣ B)}{P (A)}

wir wissen dass

P (A) = 0, 75

und

P (A^{c}) = 0, 25

und dem entsprechend auch

P (B) = 0, 25

und

P (B^{c}) = 0, 75

jetzt muss ich nur noch

P (A ∣ B)

bestimmen, meine idee wäre demnach

P (A) = P (B) P (A ∣ B) + P (B^{c}) P (A ∣ B^{c})

leider fehlt mir ein Term und den kann ich nicht berechnen irgendwie

HAL9000

19:06 Uhr, 25.11.2021

> es kann doch nicht sein dass die Wahrscheinlichkeit dass eine Karte mindestens in Stapel A liegt 75 prozent ist ?

Falscher Zungenschlag: Es geht um die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine von zwei vorgegebenen Karten im Stapel A liegt. Und da ist 75% für mich völlig plausibel: Ungefähr 25% für "nur Karte 1", 25% für "nur Karte 2" und nochmal 25% für "beide Karten".

Deine Rechnung im letzten Beitrag ist falsch, weil sie von einer unabhängigen Verteilung der beiden Joker ausgeht - das mag asymptotisch stimmen, wenn jeder der beiden

n

Karten bekommt und wir den Grenzübergang

n \to \infty

durchführen. Hier haben wir aber endliches

n = 50

, und das ist zu berücksichtigen.

MathFanatiker aktiv_icon

19:28 Uhr, 25.11.2021

wie würde man da argumentieren, ich komme leider nicht weiter

HAL9000

19:34 Uhr, 25.11.2021

Das ist jetzt ein Witz, oder? Ich habe oben - aufbauend auf dem Grundüberlegungen von DrBoogie - einen vollständig begründeten Lösungsweg dargelegt (den du ignoriert hast). Nochmal zusammengeführt zum Endergebnis:

P (B ∣ A) = \frac{p}{1 - p} = \frac{\frac{49}{198}}{1 - \frac{49}{198}} = \frac{49}{149}

Was willst du jetzt noch von mir? :(

MathFanatiker aktiv_icon

19:41 Uhr, 25.11.2021

ahhhhhhhh sorry ich habe die antwort von dr boogie nur kurz gelesen anafang, habe mich eher auf deine antworten foksuiert.

MathFanatiker aktiv_icon

19:44 Uhr, 25.11.2021

ok macht alles Sinn, verstanden !

MathFanatiker aktiv_icon

20:05 Uhr, 25.11.2021

Seien nun auch die Joker mit Joker 1 und mit Joker 2 bezeichnet. Wie groß istdie Wahrscheinlichkeit, dass Joker 2 in Stapel 1 ist, wenn wir schon wissen, dass sich Joker 1in Stapel 1 befindet.

A

= "dass Joker 2 in Stapel 1 ist"

A^{c}

= "dass kein Joker 2 in Stapel 1 liegt"

B

= "dass joker 1 in stapel 1 liegt"

B^{c}

= "dass joker 1 nicht in Stapel 1 liegt"

P (A) = P (B)

ich muss

P (A ∣ B)

aber zuerst muss ich

P (A^{c})

bestimmen, mein Gedanke wäre folgend:

dass ich den Binomialkoeffzienten 50 über 99 bestimme ?

MathFanatiker aktiv_icon

22:39 Uhr, 25.11.2021

Ich habe nochmal in Ruhe für die untere Aufgabe überlegt:

A

= "Joker 1 in Stapel 1"

B

= "Joker 2 in Stapel 1"

A^{c}

= "Kein joker 1 in Stapel 1"

die Wahrscheinlichkeiten

P (A) = P (B)

müssten gleich sein.

P (A) = 1 - \frac{((\binom{n}{k}))}{((\binom{N}{k}))} = P (B)

, für n = 99, N=100 und k = 50

leider weiß ich nun nicht mehr weiter

Kartoffelchipsman aktiv_icon

06:03 Uhr, 26.11.2021

Entschuldigung, wenn ich mich in diesen Thread einmische,
ohne auf die Beiträge zuvor einzugehen.
Bedeute

J_{k} S_{l}

"Joker

k

ist in Stapel

l

" mit

k, l \in {1,2},

dann ist das Folgende eigentlich "Alles, was passieren kann".
Die Vierfeldertafel und die zwei Bäume (siehe Bild).
Das möchte ich hier einfach mal beisteuern.

(\begin{matrix} J_{1} S_{1} & J_{1} S_{2} \\ J_{2} S_{1} & \frac{49}{198} & \frac{50}{198} & \frac{1}{2} \\ J_{2} S_{2} & \frac{50}{198} & \frac{49}{198} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{matrix})

Die acht bedingten Wahrscheinlichkeiten (an den zweiten Gabelungen der Bäume):

P_{J_{1} S_{1}} (J_{2} S_{1}) = \frac{P (J_{1} S_{1} \cap J_{2} S_{1})}{P (J_{1} S_{1})} = \frac{\frac{49}{198}}{\frac{1}{2}} = \frac{49}{99},

P_{J_{1} S_{1}} (J_{2} S_{2}) = \frac{P (J_{1} S_{1} \cap J_{2} S_{2})}{P (J_{1} S_{1})} = \frac{\frac{50}{198}}{\frac{1}{2}} = \frac{50}{99},

P_{J_{1} S_{2}} (J_{2} S_{1}) = \frac{P (J_{1} S_{2} \cap J_{2} S_{1})}{P (J_{1} S_{2})} = \frac{\frac{50}{198}}{\frac{1}{2}} = \frac{50}{99},

P_{J_{1} S_{2}} (J_{2} S_{2}) = \frac{P (J_{1} S_{2} \cap J_{2} S_{2})}{P (J_{1} S_{2})} = \frac{\frac{49}{198}}{\frac{1}{2}} = \frac{49}{99},

P_{J_{2} S_{1}} (J_{1} S_{1}) = \frac{P (J_{1} S_{1} \cap J_{2} S_{1})}{P (J_{2} S_{1})} = \frac{\frac{49}{198}}{\frac{1}{2}} = \frac{49}{99},

P_{J_{2} S_{1}} (J_{1} S_{2}) = \frac{P (J_{1} S_{2} \cap J_{2} S_{1})}{P (J_{2} S_{1})} = \frac{\frac{50}{198}}{\frac{1}{2}} = \frac{50}{99},

P_{J_{2} S_{2}} (J_{1} S_{1}) = \frac{P (J_{1} S_{1} \cap J_{2} S_{2})}{P (J_{2} S_{2})} = \frac{\frac{50}{198}}{\frac{1}{2}} = \frac{50}{99},

P_{J_{2} S_{2}} (J_{1} S_{2}) = \frac{P (J_{1} S_{2} \cap J_{2} S_{2})}{P (J_{2} S_{2})} = \frac{\frac{49}{198}}{\frac{1}{2}} = \frac{49}{99}

MathFanatiker aktiv_icon

17:36 Uhr, 26.11.2021

okay ich müsste es verstanden haben, du solltest eine vierfelder tafel bauen und das hast du gemacht mit einem baumdiagramm anschließend hast die Randverteilungen bestimmen können dementsrpechend, konntest du dann

P (J 2 S 1 ∣ J 1 S 1)

bestimmen und eingeben !!!!

Kartoffelchipsman aktiv_icon

18:48 Uhr, 26.11.2021

MathFantasierer, wem willst Du mit diesem Geblubber
jetzt was und wie mitteilen ?
Willst Du überhaupt wem was wie sagen, oder denkst Du,
Du bist hier auf Facebook oder Twitter ?

MathFanatiker aktiv_icon

19:21 Uhr, 26.11.2021

ich wollte sicherstellen,ob ich das verstanden habe. Deswegen die Nachfrage

MathFanatiker aktiv_icon

22:34 Uhr, 30.11.2021

danke für eure hilfe, habe die musterlösungen bekommen. die war leider sehr komplexer als eure Lösungen

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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