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Gegenbeispiel für die "Schuldefinition" der Stetig
Universität / Fachhochschule
Stetigkeit
Tags: Stetigkeit
 
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Hallo, wir kennen ja aus dem Schulunterricht, dass Stetigkeit einer Funktion bedeutet, dass der Funktionsgraph ohne mit dem Stift abzusetzen gezeichnet werden kann. Was wäre jedoch ein Gegenbeispiel dazu? Mir würde nur unter naiven Definition einfallen, aber gibt es noch andere? Danke im Voraus! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo wjsnguts, eine "sehr unstetige" Funktion ist zum Bleispiel mit für alle für alle . Da wie auch dicht in liegt, kann nichts und niemand den Graphen von zeichnen (er sieht dann aus wie zwei Graphen). Und ist sehr wohl stetig (also kein "Gegenbeispiel"). ist lediglich im Nullpunkt nicht definiert, aber das ist etwas anderes als der Fall, dass eine Funktion (an einer Stelle ihrer Definitionsmenge) nicht stetig ist. |
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Die klassischen Beispiele für Unstetigkeiten sind ja die abschnittsweise definierten Funktionen. Diese haben natürlich stets an den Abschnitts-Grenzen die pot. Möglichkeit der Unstetigkeit. Auch Rundungs-Funktionen sind Natur-gemäß unstetig. Die kann man ja stets an den Rundungs-Grenzen auch als Stufen-Funktion oder wiederum als abschnittsweise definiert verstehen. Oder schließlich die Signum-Funktion. Die gängigen Definitionen geben ihr die Ergebniswerte . Manche Programm-Codes verwenden nur weil auch für mein Geist es wohl die Vorzeichen Plus und Minus gibt, nicht aber das Vorzeichen Null, und die funktionieren auch so wunderbar. Wie auch immer lassen sich hiermit beliebige Unstetigkeiten konstruieren. |
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Ein anderes eindrucksvolles Beispiel ist die Funktion mit für rationales mit teilerfremden ganzen Zahlen , sowie für irrationale . Hier ist stetig an allen irrationalen Punkten , hingegen unstetig an allen rationalen Punkten. |
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