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Gegenseitige Lage zweier Polynome

Schüler

Tags: Polynome Kurvenlage

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18:04 Uhr, 18.03.2019

Hallo zusammen!
Wir machen gerade ganzrationale Polynome durch und ich kapiere mal wieder gar nichts...
Und nächste Woche Klassenarbeit.

: (

Folgende Aufgabe:
Gegeben sind die Funktionen

f (x) x^{4} - x^{3} + 1

und

g (x) = x^{4} + x^{2} + 1

a)

Machen Sie Aussagen über die gegenseitige Lage der zugehörigen Kurven.

b)

Bestätigen Sie Ihre Aussagen durch Rechnung.

Meine Überlegung zu

a) :

Beide Gleichungen sind Polynome 4.-Grades. Das heißt, die Schaubilder müssten jeweils eine W-Form haben...? Zudem müssten beide Kurven die y-Achse bei

+ 1

schneiden (Absolutglied ist jeweils

+ 1) ...

?
Zudem sehe ich (dank WolframAlpha), dass die zwei Kurven sich bei

(- 1; 3)

schneiden.
Aber wie bitte komme ich allein durch Überlegen, also ohne zu Zeichnen darauf?
Und gibt es noch andere Aussagen zur gegenseitigen Lage, "aus der Hüfte"?

Meine Überlegung zu

b) :

Aus

a)

abgeleitet könnte ich jetzt in beide Gleichungen

x = 0

und

x = - 1

einsetzen.
Für

y

müsste jeweils der selbe Wert rauskommen. Aber reicht das?

Kann mir jemand bitte weiterhelfen...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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18:18 Uhr, 19.03.2019

Kann mir bitte jemand zumindest ein wenig auf die Sprünge helfen...?
Danke schon mal!

abakus

19:05 Uhr, 19.03.2019

Beide Terme haben die Summanden

x^{4}

und 1 (und dann haben sie jeweils noch einen anderen Summanden).
Die Terme haben also garantiert den gleichen Wert, wenn diese beiden zusätzlichen Summanden den selben Wert haben, also wenn

- x^{3} = x^{2}

gilt. Das ist bei 0 und -1 der Fall.

Respon

22:31 Uhr, 19.03.2019

- x^{3} = x^{2}

x^{2} + x^{3} = 0

x^{2} \cdot (1 + x) = 0

\Rightarrow

x_{1} = - 1

x_{2,3} = 0

Um welchen besonderen "Schnittpunkt" handelt es sich also ?

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06:35 Uhr, 21.03.2019

@Respon „Um welchen besonderen "Schnittpunkt" handelt es sich also ?“
Hmmm... bei diesen x-Werten ist

y

bei beiden Kurven gleich... ich folgere, dass die zwei Kurven bei genau diesen zwei x-Werten berühren bzw. schneiden..... aber was meinst Du mit „besonderem Schnittpunkt“?

Respon

07:28 Uhr, 21.03.2019

Sie berühren einander, ein Berührpunkt ist ein besonderer Schnittpunkt.

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09:58 Uhr, 21.03.2019

Und woran erkenne ich das, dass das keine Schnittpunkte, sondern „Berührpunkte“ sind? Also ohne zu zeichnen...?

Respon

10:06 Uhr, 21.03.2019

Siehe weiter oben