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Genauigkeit und Sicherheit eines Test / Umfrage
Universität / Fachhochschule
Tags: Hypothesentest, Normalverteilung, signifikanzniveau, signifikanztest
 
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Kann man mit einer Rechnung herausfinden, wie sicher ein Test bezogen auf beide Fehler ist? Was meint ihr zu der Lösung? In einem Schulbuch findet sieh eine Beipeilrechnung, wonach über 1,3 Millionen Wähler befragt werden müssten um mit einer Sicherheit von 98% ein Wahlergebnis einer Partei mit einer Genauigkeit von 0,1% vorhersagen zu können. Bei der Rechnung wurde von p = 0,5 ausgegangen. Ergebnis n = 1 357 225 Egal ob nun p = 0,5 gegen p = 0,501 testet oder umgekehrt, ich komme auf eine Sicherheit von maximal rund 61%, da der Fehler der 2. Art, also die Hypothese beizubehalten, obwohl sie falsch ist, bei einem Signifikanzniveau von 2% bei rund 39% liegt. Soll die Irrtumswahrscheinlichkeit für beide Fehler bei maximal 2% liegen, müssen nach meiner Rechnung über 4 Millionen Wähler befragt werden, n = 4 217 773. I. Ab wie viel Befragen liegt die Wahrscheinlichkeit, dass P = 0,5 im Annahmebereich von P = 0,501 liegt bei maximal 2%? 2% Signifikanzniveau Fehler 2. Art maximal 2% Ti CAS/GTR: P = normCdf(UG, OG, Ew, sigma) normCdf( 0.501n - 2.0537√(0.501*n*(1-0.501)), x ,0.5n, √(0.5n*0.5) ) = 0,02 => n = 4 217 773 II. Ab wie viel Befragen liegt die Wahrscheinlichkeit, dass P = 0,501 im Annahmebereich von P = 0,5 liegt bei maximal 2%? 2% Signifikanzniveau Fehler 2. Art mximal 2% normCdf(0, 0.5n + 2.0537√(0.5*n*(1-0.5)) , 0.501n, √(0.501n*(1-0.501) = 0,02 => n = 4 217 773 Für die Frage, ob eine Partei die 5% Hürde schafft oder nur 4,9% erhält wären es bei 95% Sicherheit, also einer maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% für den Fehler, die Hypothese zu verwerfen obwohl sie richtig ist oder den Fehler die Hypothese zu behalten, obwohl sie falsch ist, noch über 500 000 Wähler, die gefragt werden müssten. I. Ab wie viel Befragen liegt die Wahrscheinlichkeit, dass P = 0,05 im Annahmebereich von P = 0,049 liegt bei maximal 5%? 5% Signifikanzniveau Fehler 2. Art maximal 5% normCdf( 0,049n + 1,645√(0,049*n*(1-0,049)), 0.05n, √(0.05n*(1-0.05) ) = 0,05 n = 509 212 II. Ab wie viel Befragen liegt die Wahrscheinlichkeit, dass P = 0,049 im Annahmebereich von P = 0,05 liegt bei maximal 5%? 5% Signifikanzniveau Fehler 2. Art maximal 5% normCdf(0.5n - 1.645√(0.05*n*(1-0.05)), n ,0.049n, √(0.049n*(1-0.049) ) = 0,05 n = 509 212  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Der benötigte Stichprobenumfang lässt sich mit folgender Standardformel aus der schließenden Statistik berechnen: z² e² Hier sind die Faktoren, die zu diesem enormen Wert von über Millionen Menschen führen: (Sicherheitsniveau von Der z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen man vom Mittelwert abweichen darf, um die gewünschte Sicherheit zu garantieren. Für ein Konfidenzniveau von beträgt dieser Wert etwa . (Genauigkeit/Fehlerspanne von Das ist der entscheidende Hebel. Eine Genauigkeit von bedeutet eine Fehlerspanne von . Da dieser Wert im Nenner quadriert wird (e² bläht er das Endergebnis massiv auf. (Der angenommene Anteil): Da man vor der Wahl nicht weiß, wie viel Prozent die Partei tatsächlich bekommt, wählt man den "Worst-Case-Ansatz" für die Stichprobengröße: . Bei diesem Wert wird das Produkt maximal, was die sicherste (und größte) Stichprobe garantiert. Setzt man diese Werte in die Formel ein: 2,33² 0,001² Das Schulbuch hat also recht: Man benötigt mathematisch exakt rund Millionen Befragte. |
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Wie geschrieben, meine ich, dass dies nicht richtig ist, da das Sicherheitsniveau von 98% nicht erreicht wird, sondern lediglich rund 61%, da die Wahrscheinlichkeit für den Fehler der 2. Art, also die Hypothese beizubehalten obwohl sie falsch ist, bei 39% liegt. H0: P = 0,501 H1: p maximal 0,5 für n = 1357225 2% Signifikanzniveau 98% Annahmebereich für P = 0,501: [Ew - 2,0537 *Sigma; n] = [678773,4471; 1357225] P für Fehler 2. Art, das P = 0,501 beibehalten wird, obwohl P = 0,5 richtig ist = 39,12% H0: p = 0,5 H1: P mindestens 0,501 für n = 1357225 2% Signifikanzniveau 98% Annahmebereich für P = 0,5: [0; Ew + 2,0537 * Sigma] = [0; 679808,7803] P für Fehler 2. Art, das P = 0,5 beibehalten wird, obwohl P = 0,501 richtig ist = 39,12% |
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