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Geometrie: Berechnung Volumen Prismatoid

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Körper: Prismatoid

SteffiSven aktiv_icon

19:08 Uhr, 31.12.2020

Hallo zusammen,

bei folgender Aufgabe kommen wir (trotz vorliegendem Lösungsergebnis) nicht weiter und benötigen eure Hilfe.

Aufgabenstellung: Berechnen Sie das Volumen des Prismatoids mit a=12cm, b=9cm und h=15cm. Die Schneide b ist parallel zur Grundfläche (Bild des Körpers siehe Anlage).

Unser bisheriger Ansatz: Bei diesem Körper sind Grund-(A1), Deck- (A2) und Mittelfläche (AM) zur Berechnung des Volumens zu ermitteln und in die Formel - V = h/6 * (A1 + 4*AM + A2) einzusetzen.

Die Grundfläche ist ein gleichseitiges Dreieck und somit wird der Flächeninhalt mittels der Formel A = a²/4 * Wurzel 3 ermittelt.

b ist laut Ansicht ein Keil und somit eine Sonderform des Prismatoid, bei dem die Deckfläche A2 gleich Null wird. Richtig?

Die Mittelfläche ist nun die Herausforderung. Sie liegt in der Hälfte h/2, aber wie kommt man hier am Besten auf den Flächeninhalt? Wir haben bisher versucht die Seiten von AM über alle angrenzenden Flächen zu ermitteln.

Aber dennoch kommen wir nicht auf das Endergebnis V = 5,456 dm³.

Vielleicht denken wir bei der Mittelfläche auch zu kompliziert und jemand kann uns einen wichtigen Hinweis geben? ;-)

Vielen Dank,
Steffi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Roman-22

20:21 Uhr, 31.12.2020

>

Aber dennoch kommen wir nicht auf das Endergebnis

V = 5,456

dm³.
Dieses "Ergebnis" ist ja auch falsch, da hat sich jemand um eine 10er-Potenz geirrt!

Das Volumen ist

V (a, b, h) := a \cdot (a + b) \cdot h \cdot \frac{\sqrt{3}}{12}

und das ergibt mit den angegebenen Maßen

V = 315 \cdot \sqrt{3} c m^{3} \approx 0.545596 d m^{3}

Ich würde das Objekt in zwei Körper zerteilen.

K_{1} =

ABDEF
und

K_{2} =

BCDF

Bezeichne wir nun die Dreiecksfläche ABD mit

A_{1}

und die Fläche des Dreeicks BCD mit

A_{2}

K_{1}

ist das Prisma ABDAGF vermindert um die Pyramide EFGB und daher

V_{1} = \frac{2}{3} \cdot A_{1} \cdot h

K_{2}

ist eine Pyramide mit BCD als Grundfläche und daher

V_{2} = \frac{1}{3} \cdot A_{2} \cdot h

Alternativ kannst du ja auch die Keplersche "Fass"formel verwenden.

Die Grundfläche (gleichseitiges Dreieck) ist

A_{G} = a^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}

Die Deckfläche ist

A_{D} = 0

Und der Querschnitt in der Höhe

\frac{h}{2}

(grün in der Zeichnung) ist ein Trapez. deren parallele Seiten

\frac{b}{2}

und

\frac{a + b}{2}

sind und deren "Höhe" die halbe Höhe des gleichseitigen Basisdreiecks, also

a \cdot \frac{\sqrt{3}}{4},

ist. Somit ist die Querschnittfläche

A_{Q} = a \cdot (a + 2 b) \cdot \frac{\sqrt{3}}{16}

.

Und nach Kepler ist das Volumen

V

nun

V = \frac{h}{6} \cdot (A_{G} + 4 \cdot A_{Q} + A_{D}),

was ebenfalls auf die oben angegebene Formel führt.

ermanus aktiv_icon

12:25 Uhr, 01.01.2021

Hallo,
ich würde als Grundfläche

G

die Seitenfläche mit den drei Kanten

a

b

und

h

nehmen:

G = (a + b) / 2 \cdot h

. Der Körper ist dann eine
Pyramide über

G

mit der Höhe

H := a / 2 \cdot \sqrt{3}

.
Sein Volumen ist damit

1 / 3 \cdot G \cdot H

.
Gruß ermanus

Übrigens: allen ein gesundes und erfreuliches Neues Jahr!

Roman-22

14:01 Uhr, 01.01.2021

>

ich würde als Grundfläche

G

die

. .

.

Ja, das ist definitiv, der einfachste und eleganteste Zugang, den ich da nicht gesehen hatte.

Auch ich wünsche allen hier im Forum ein Prosit Neujahr!

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