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Geometrie : Beweise
Schüler Fachschulen, 9. Klassenstufe
Tags: Geometrie
 
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anonymous 08:30 Uhr, 29.08.2004  |
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Hallo, ihr Mathe Asse.... brauche mal wieder einen Denkanstoss von euch.... Beweisen sie folgenden Lehrsatz: Die Winkelsumme in einem n-Eck beträgt: (2n - 4) x 90° oder (n-2) x 180° Das zweitere erscheint mir ja einigermassen klar - aber mit dem ersteren komme ich nicht zurecht... Kann es mir mal bitte jemand erklären? Vielen Dank Tina |
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anonymous 11:03 Uhr, 29.08.2004 |
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Hi Tina! Zur Formel: (2n-4)*90° ist ja identisch zu (n-2)*180° (2n-4)*90° = 2*(n-2)*90° = (n-2)*180° ;-) Zum Beweis: 1) das n-Eck ist eher "rund" als "verschlungen" Dann existiert im Innern der Figur ein beliebiger Punkt P, von dem aus jeder Eckpunkt des n-Ecks mit einer Geraden verbunden werden kann. Jetzt ist die Figur so zerteilt, dass sie aus genau n Dreiecken besteht. Da jedes Dreieck eine Winkelsumme von 180° aufweist, ist die Gesammtsumme n*180°. Da aber der Punkt P NICHT Teil des n-Ecks ist, werden alle im Punkt P befindlichen Winkel wieder abgezogen: also der Vollkreis um Punkt P = 360° n*180° - 360° = n*180° - 2*180° = (n-2)*180° 2) das n-Eck ist eher "verschlungen" als "rund" Nun existiert kein Punkt P, von dem aus jeder Eckpunkt erreicht werden kann. In diesem Fall wird die Figur in zwei (oder falls nötig in mehrere) TEile unterteilt; durch die Verbindung zweier Eckpunkte. Aus dem n-Eck ist nun ein m-Eck und ein (n-m+2)-Eck geworden. Anm: Dem n-Eck wurden zwar m Ecken entfernt, doch durch die Abtrennung sind zwei neue Ecken entstanden. Für jede Teilfigur existiert nun ein Punkt P... s.o. so dass gilt: Winkelsume im m-Eck: (m-2)*180° Winkelsumme im (n-m+2)-Eck: (n-m+2-2)*180° Jetzt müssen die beiden Winkelsummen nur noch aufaddiert werden: Anm: Die Winkel in den "Trennungspunkten" sind jeweils nur teilweise in die Winkelsumme der TEilfiguren eingeflossen. Werden nun beide TEile addiert, ergibt sich wieder der "echte" Winkel. (m-2)*180° + (n-m+2-2)*180° = (n-2)*180° qed |
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anonymous 14:32 Uhr, 29.08.2004 |
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Hi, Christian vielen Dank für die schnelle und wirklich gut erklärte Ausführung.... Habe es geschnallt - ich bin wohl nach dem Motto ,,Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht" verfahren und habe mich dadurch völlig verzettelt... Tja, Brett vor dem kopf... Vielen Dank nochmal und einen schönen Sonntag noch Tina |
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anonymous 16:15 Uhr, 29.08.2004 |
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Hi Tina! Es macht immer Spaß, anderen zu helfen - besonders wenn sie sich so lieb bedanken ;-) Gruß, Christian |
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