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Geometrie (Tetraeder)

Schüler Gesamtschule, 11. Klassenstufe

Tags: Berechnung

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14:26 Uhr, 04.01.2011

Hallo zusammen, ich sitze schon seit Stunden an dieser Aufgabe und kann sie nicht lösen bitte um Hilfe.

Aufgabe:
Einem Würfel (Kantenlänge

a)

wird in der abgebildeten Weise ein Tetraeder (Kantenlänge

b)

einbeschrieben. Die Länge a ist zahlenmässig bekannt.

a)

Geben sie den Rauminhalt

V (T)

des Tetraeders an (ausgedrückt durch

a)

b)

Den Würfel kann man sich zusammengesetzt denken aus dem Tetraeder sowie vier Pyramiden gleichen Grundlächeninhalts. Wie gross ist der Rauminhalt

V (P)

jeder dieser Pyramiden.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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14:36 Uhr, 04.01.2011

Hallo,

ich nehme an das ganze soll so aussehen:
http//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7f/Tetraeder_animation_with_cube.gif
Man erkennt, dass jede Seitenlänge des Tetraeders Diagonale einer Würfelfläche ist. Dadurch kannst du die Kantenlänge

b

des Tetraeders durch die Kantenlänge

a

des Würfels ausdrücken und dann dementsprechend in

V (T) = \frac{b^{3}}{12} \cdot \sqrt{2}

ersetzen.

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14:38 Uhr, 04.01.2011

Danke für deine Hilfe aber irgendwie verstehe ich es immer noch nicht.

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14:39 Uhr, 04.01.2011

Und was genau verstehst du daran nicht? Hast du dir die "Animation" angeschaut?

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14:46 Uhr, 04.01.2011

Ich verstehe nicht die Formel laut meinen Unterlagen.

V =

Wurzel

\frac{2}{12} \cdot a^{3}

Die Formel gilt für ein Tetraeder mit der Kantenlänge

a

.
Wie komme ich auf b?

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14:58 Uhr, 04.01.2011

Wenn für ein Tetraeder mit Kantenlänge

a

gilt

V = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot a^{3}

dann gilt für ein Tetraeder mit Kantenlänge

b

doch offensichtlich auch

V = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot b^{3}

. In der von dir genannten Aufgabe wurde die Kantenlänge des Tetraeders eben mit

b

bezeichnet, weil die des Würfels schon

a

ist.

Gruß Shipwater

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15:33 Uhr, 04.01.2011

Ok das habe ich verstanden.

Aber in meinen Unterlagen komme ich auf 333,333cm^3 als Volumen wenn

b = 10

ist. Bei mir kommt aber

117.851

raus.

Was mache ich falsch?

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15:34 Uhr, 04.01.2011

Ich erhalte das selbe Ergebnis wie du! Aber was hat das mit der Aufgabenstellung zu tun?

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15:38 Uhr, 04.01.2011

Ich habe die Lösung abr nicht den Rechenweg.

Das Problem ist das

333,333

cm^3 rauskommen müsste als Ergebnis.
Also als Volumen des Tetraeders.

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15:55 Uhr, 04.01.2011

Achso jetzt habe ich erst verstanden was du meinst. Die Kantenlänge des Würfels(!!!) ist nun fest gegeben und zwar mit

a = 10 c m

. Dann ist die Kantenlänge des Tetraeders nach dem Satz von Pythagoras

b = 10 c m \cdot \sqrt{2}

. Berechne jetzt nochmal das Volumen des entsprechenden Tetraeders, da müsste dann

V_{T} = 333, \bar{3} c m^{3}

rauskommen.
Bzw. ist das Ergebnis der

a)

einfach

V_{T} = \frac{a^{3}}{3}

und dann kommst du relativ schnell für

a = 10 c m

V_{T} = \frac{{(10 c m)}^{3}}{3} = \frac{1000}{3} c m^{3} = 333, \bar{3} c m^{3}

Gruß Shipwater

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15:58 Uhr, 04.01.2011

Ja jetzt stimmt es.

Also musste ich

b

mit dem Pythagoras rausbekommen?!

Alles klar.

Könntest du mir auch mit Aufgabe

b)

helfen?

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16:00 Uhr, 04.01.2011

Ich gehe mal davon aus, dass alle vier Pyramiden das selbe Volumen haben. Dann entspricht die Differenz aus Würfelvolumen und Tetraedervolumen ja dem Volumen der vier Pyramiden und es sollte kein Problem mehr sein das Volumen jeder einzelnen Pyramide anzugeben.

Gruß Shipwater

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16:06 Uhr, 04.01.2011

Danke für deine Hilfe ich denke den Rest schaff ich allein. :-)

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16:07 Uhr, 04.01.2011

Gern geschehen und viel Erfolg.

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