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Geometriesches Problem
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Geometrie, Sonstiges
 
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Hallo. Habe gerade ein Problem bei der korrekten Beweisführung von folgenden Satz: "Eine Raute ist ein Drachenviereck und Trapez zugleich. " Meine Idee wäre wie folgt: Voraussetzung: Das Viereck ist eine Raute Behauptung: Der Satz gilt. Beweis: Sei ein Viereck ABCD mit den üblichen Bezeichnungen gegeben. Für ein Drachenviereck existieren zwei benachbarte Seiten die gleich lang sind, sodass ich definieren kann: a=d Desweiteren gilt nach Defintion eines Trapezes: a ist parallel zu c. Da eine Raute aus gleichlangen Seiten besteht,muss gelten a=d=c=b. Nun muss noch gezeigt werden, dass b auch wirklich parallel zu d ist... Weiß aber nicht wirklich, wie dies zu machen ist... Oder ob meine Beweisargumentation, überhaupt schlüssig ist. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, ich würde folgendermaßen vorgehen: 1. Skizze eine Rhombus nach üblicher Art mit Eckpunkten und Seiten . Zeichne eine Diagonale ein, . die Dieagonale von A nach C. 2. Drachenviereck Wegen der Rhombus-Eigenschaft gilt: und damit insbesondere und es gibt Paare benachbarter Seiten die gleich lang sind und damit ist das Viereck ein Drachenviereck. 3. Trapez Das Dreieck ABC ist gleichschenklig, da . Das Dreieck CDA ist kongruent zu ABC, da es ebenfalls gleichschenklig ist und außerdem gilt: und ist gemeinsame Seite beider Dreiecke. Damit sind an den Punkten und die Winkel gleich groß. Ebenfalls gleichgroß sind als doppelte Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks die Winkel bei A und D. Es gilt im inneren eines Vierecks: Summe aller Winkel ist 360°, . zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen genauso viel wie die gegenüberliegenden und das muß dann 180° sein. Damit sind die Seiten und a parallel (natürlich auch und aber für ein Trapez reicht ein Paar), und damit ist das Viereck ein trapez |
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Ich danke dir vielmals für die Lösung... Jetzt weiß ich auch, wie man ganz leicht zeigen kann, ob zwei Seiten im Viereck Parallel sind. |
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Noch ein kleine Frage: Wenn ich beweisen soll das Ein Quadrat ein Rechteck und gleichzeitig ein Parallelogramm ist, kann ich doch wie folgt vorgehen: Rechteck: Im Quadrat gilt a=b=c=d und somit insbesondere a=c und b=d(Gegenüberliegende Seiten sind gleichlang) Des weiteren gilt $\alpha = \beta = \gamma =\delta =90°$, was ebenfalls auch in der Definition eines Rechtecks vorkommt. Parallelogramm: Analog zu der vorherigen Beschreibung beim Trapez. Und dann hab ich es doch prinzipiell bewiesen...Oder? |
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