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Geometrische Folge

Universität / Fachhochschule

Tags: Aufgabe

Christian- aktiv_icon

01:30 Uhr, 17.08.2021

Hallo,

siehe Bild. Diese Formel wird dazu verwendet, um das i-te Glied einer geometrischen Folge zu berechnen.

Ich habe das mit dem dritten Folgeglied gemacht. Hierbei verstehe ich diese Formel irgendwie nicht, wegen dem, was im Exponenten steht bei

q

.

Sei die geometrische Folge gegeben:

(5; 15; 45; 135)

Wobei

a_{1}

der absolute Beginn ist. Das dritte Folgeglied wäre demnach

a_{3} = 45

.
Das davor wäre

a_{2} = 15

. Nun möchte ich diese besagte Formel aus der Wikipedia Seite anwenden.

a_{i} = a_{1} \cdot q^{i - 1}

\Rightarrow a_{3} = a_{2} \cdot q^{3 - 1}

\Rightarrow a_{3} = a_{2} \cdot q^{2} | : a_{2}

\Rightarrow \frac{a_{3}}{a_{2}} = q^{2} | \sqrt{}

\Rightarrow \sqrt{\frac{a_{3}}{a_{2}}} = q

\Rightarrow \sqrt{\frac{45}{15}} = q = \sqrt{3} \approx 1,7

Irgendwas stimmt doch da nicht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

01:50 Uhr, 17.08.2021

Schau mal !

Roman-22

01:52 Uhr, 17.08.2021

Warum schreibst du bei der Berechnung von

a_{3}

plötzlich

a_{2}

anstelle des in der Formel vorkommenden

a_{1}

?
Für eine geometrische Reihe gilt

a_{i} = a_{1} \cdot q^{i - 1}

und für dein Beispiel mit

a_{1} = 5

und

q = 3

ist eben

a_{3} = a_{1} \cdot q^{3 - 1} = 5 \cdot 3^{2} = 45

. Also alles in Ordnung, oder?

Bezogen auf das jeweilige vorhergehende Glied gilt für eine RF natürlich

a_{i} = a_{i - 1} \cdot q

und für dein Beispiel daher

a_{3} = a_{2} \cdot q = 15 \cdot 3 = 45

Christian- aktiv_icon

02:23 Uhr, 17.08.2021

Hmm. Danke euch. ich habe da extra

a_{2}

eingefügt, weil ich bei den Folgegliedern, die nebeneinander stehen, ihren Quotienten berechnen wollte.
Aber ich fange an etwas zu begreifen.

Bevor ich es komplett begreife, muss ich noch mal eine Frage stellen.

Als Beispiel. Sei die geometrische Folge

a_{2} = 15

und

a_{3} = 45

gegeben. Berechnen Sie den Quotienen

q

.

Wie würdet ihr das berechnen mit Hilfe der Formel

a_{i} = a_{1} \cdot q^{i - 1}

?
Oder verwendet man da eine andere Formel?

Respon

02:35 Uhr, 17.08.2021

Wie würdest du es denn machen ?

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05:48 Uhr, 17.08.2021

a_{i} = a_{3}, a_{i - 1} = a_{2} = \frac{a_{3}}{q^{3 - 2}} = \frac{a_{3}}{q^{1}}

Anwendungsbeispiel:

Ein Kapital hat bei

5 %

Zinsen nach

10

Jahren einen Wert von

16288,95

Euro.
Welchen Wert hatte das Kapital nach 4 Jahren?

K_{10} = K_{0} \cdot {1,05}^{10} = 16288,95

K_{4} = \frac{K_{10}}{{1,05}^{10 - 4}} = . .

. (Abzinsen um 6 Jahre)

Roman-22

12:40 Uhr, 17.08.2021

>

Als Beispiel. Sei die geometrische Folge

a 2 = 15

und

a 3 = 45

gegeben. Berechnen Sie den Quotienen

q

.

Eine GF ist doch dadurch charakterisiert, dass der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist, also immer derselbe Wert

q

unabhängig davon, welche zwei aufeinander folgende Glieder man nimmt.
Also

q = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{a_{4711}}{a_{4710}} = ...

. oder allgemein

q = \frac{a_{i}}{a_{i - 1}}

für

i \in ℕ_{> 1}

(falls das erste Folgenglied den Index 1 erhalten soll).
Nach welcher "Formel" würdest du also den Quotienten

q

berechnen, wenn du

a_{i}

und

a_{i - 1}

gegeben hast, zB

a_{3}

und

a_{2}

Das Ding heißt ja nicht ohne Grund Quotient ;-)

supporter aktiv_icon

12:51 Uhr, 17.08.2021

a_{4711}

Bitte keine Schleichwerbung für Parfüms etc.! :-)

Respon

12:57 Uhr, 17.08.2021

@supporter

4711 -

Deine Generation kennt das auch noch ?
Mutter und Großmutter haben sich damit überschüttet und waren dann immer "frühlingsfrisch".

. .

. und billig war es auch.

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13:07 Uhr, 17.08.2021

"Mutter und Großmutter haben sich damit überschüttet"
Meine auch, aber eher maßvoll. :-)

Preise heute:
www.idealo.de/preisvergleich/OffersOfProduct/3286089_-echt-koelnisch-wasser-4711.html

Roman-22

13:37 Uhr, 17.08.2021

>

Bitte keine Schleichwerbung für Parfüms etc.! :-)
Na, die hast ja gerade du mit dem Link gemacht, oder?

0815

wollte ich wegen der führenden Null nicht verwenden ;-)

Abgesehen davon ist das, was du meinst, kein Eau de Parfum, nicht mal ein Eau de Toilette, sondern bestenfalls ein Eau de Cologne.
Der Unterschied liegt in der Konzentration der Duftöle und natürlich im Preis.
de.wikipedia.org/wiki/Parf%C3%BCm#Verd%C3%BCnnungsklassen

Christian- aktiv_icon

02:54 Uhr, 18.08.2021

Eine GF ist doch dadurch charakterisiert, dass der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist, also immer derselbe Wert

q

unabhängig davon, welche zwei aufeinander folgende Glieder man nimmt.
Also

q = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{a_{4711}}{a_{4710}} = ...

. oder allgemein

q = \frac{a_{i}}{a_{i - 1}}

für

i \in ℕ_{> 1}

(falls das erste Folgenglied den Index 1 erhalten sein soll. (Roman)

Dankeschön! Das habe ich nun verstanden. Es ist also egal, wie groß die Zahlen des Indexes sind. Wichtig sind die Bedingungen, dass es einen Nachfolger gibt, wenn zwei Folgeglieder betrachtet werden.
Ist das Parfüm gut?:-D)

Nach welcher "Formel" würdest du also den Quotienten

q

berechnen, wenn du

a_{i}

und

a_{i - 1}

gegeben hast,

z

.B.

a_{3}

und

a_{2}

? Das Ding heißt ja nicht ohne Grund Quotient ;-)
(Roman)

Ich würde es dann so machen:

a_{i} = a_{i - 1} + q^{i - 1} |

Diese Gleichung, mit dem Index

(i - 1)

nur dann verwenden, wenn gilt

i \in ℕ^{⋆}

.
Das ist also eine Menge natürlicher Zahlen ohne 0. Ansonsten würde man einen negativen Indexwert bekommen, und dann wäre man raus aus dem natürlichen Zahlenbereich, falls man bei

i \in ℕ_{o}

als Anfangsglied

a_{0}

verwenden würde. Das soll ja nicht sein. Eine Aufzählung der Folgeglieder muss stets im natürlichen Zahlenbereich

i \in ℕ_{o}

oder

i \in ℕ^{⋆}

sein.
Falls

i \in ℕ_{o}

gelten würde, bei dem auch

a_{0}

inkludiert ist, so würde man die Formel

a_{i} = a_{i - 1} + q^{i - 1}

nur wegen dem Index

(i - 1)

nicht verwenden, sondern dann eher

a_{i} = a_{0} + q^{i}

. Alle Folgeglieder größer Index

i > 0

verwenden wir die oben genannte Gleichung.

So, das habe ich nun verstanden.

a_{3} = a_{2} \cdot q^{i - 1}

Für dieses

i

im Exponenten setze ich 2 ein. Warum? Dazu betrachte ich mir die Indexe von

a_{3}

und

a_{2}

.
Das wären halt zwei Folgeglieder, die ich zählen würde.

a_{3} = a_{2} \cdot q^{2 - 1} = a_{2} \cdot q^{1} = a_{2} \cdot q | : a_{2}

q = \frac{a_{3}}{a_{2}} = \frac{45}{15} = 3

Das heißt, der Quotient dieser geometrischen Folge ist 3. Das ist also so zu verstehen, dass der Nachfolger eines Folgeglieds immer das Dreifache bzw.

300 %

ergibt. Das ist dann ein prozentualer Zuwachs von

200 %

.
Stimmts Sensei Roman, oder habe ich Humbug geredet?

Roman-22

10:34 Uhr, 18.08.2021

>

ai=ai−1+qi−1
NEIN!! Richtig ist

a_{i} = a_{i - 1} \cdot q

Also eine Multiplikation und keine Addition und ein einfaches

q

ohne von

i

abhängigem Exponenten.
Vielleicht hattest du bei deinen Ausführungen die Beziehung

a_{k} = a_{i} \cdot q^{k - i}

im Hinterkopf?
Und nummerieren kannst du grundsätzlich wie du willst, solange du angibst, welchen Index dein ersten Glied haben soll. Sinnvoll wäre natürlich mit Index in

ℤ

.
Wenn du hier aber

i \in ℕ^{⋆}

wählst, dann referenzierst du mit

i = 1

das Glied

a_{0}

.
Da du in den Beispielen immer

a_{1}

als erstes Glied verwendet hast, habe ich im Text daher

i \in ℕ_{> 1}

geschrieben. Wirklich wesentlich ist das aber für die Beziehung zwischen

a_{i}

und

a_{i + 1}

nicht.
Du kannst das "Problem" aber auch gern vermeiden indem du

a_{i + 1} = a_{i} \cdot q

verwendest.

Meine Frage, nach welcher Formel du nun

q

berechnen würdest, war eigentlich eine rhetorische und nicht ganz ernst gemeint.
Ich hatte dir die "Formel"

q = \frac{a_{i}}{a_{i - 1}}

angegeben und im Satz danach gefragt, wie du nun

q

berechnest, wenn du

a_{i}

und

a_{i - 1}

gegeben hast (natürlich indem du genau dort einsetzt) und habe mich dann noch auf dein Beispiele bezogen und

a_{3}

und

a_{2}

genannt. Den Transfer, dass du damit auf

i = 3

kommst und

q = \frac{a_{3}}{a_{2}}

verwendest, hatte ich dir eigentlich schon zugetraut und nicht erwartet, dass du mit einer halben Seite "Rechnung" antwortest ;-)

Christian- aktiv_icon

17:09 Uhr, 18.08.2021

Oh, sry ich meinte bei der Gleichung das Malzeichen statt Pluszeichen. Haha.

Danke für den Rest. Ich habe noch eine letzte Frage. Wie ist es, wenn man zwischen den Folgegliedern einen größeren Abstand hat als bei einem Nachfolgerglied?

Als Beispiel:

Gegeben sei eine geometrische Folge mit

a_{2} = 15

und

a_{4} = 135

Berechnen Sie den Quotienten von einem zum nächsten nachfolgenden Folgeglied.

Ich würde es so machen:

a_{i} = a_{i - 2} \cdot q^{i - 1}

a_{4} = a_{4 - 2} \cdot q^{i - 1}

a_{4} = a_{2} \cdot q^{3 - 1}

a_{4} = a_{2} \cdot q^{2} | : a_{2}

\frac{a_{4}}{a_{2}} = q^{2} | \sqrt{}

\sqrt{\frac{a_{4}}{a_{2}}} = q

\sqrt{\frac{135}{15}} = q

3 = q

HAL9000

17:13 Uhr, 18.08.2021

Genau genommen ist auch

q = - 3

möglich - es sei denn, durch andere Rahmenbedingungen ist klar, dass nur positive

q

in Frage kommen.

Roman-22

20:35 Uhr, 18.08.2021

>

Danke für den Rest. Ich habe noch eine letzte Frage. Wie ist es, wenn man zwischen den Folgegliedern einen größeren Abstand hat als bei einem Nachfolgerglied?

Auch die Formel habe ich dir in meiner letzten Antwort eigentlich schon geschrieben:

Wobei der Einwand von HAL9000 zu berücksichtigen ist,

d . h

. wenn die Differenz

k - i

gerade ist, gibt es zwei reelle Lösungen für

q = {(\frac{a_{k}}{a_{i}})}^{\frac{1}{k - i}}

Christian- aktiv_icon

23:59 Uhr, 18.08.2021

Hallo,

danke dir. Jetzt habe ich es komplett verstanden. Die Formel, die du mir präsentiert hast, hatte ich anfangs nicht richtig begriffen, aber nun schon. Sie ist sogar angenehmer.

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