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q und n einer geometrische Folge

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Geometrische Folge, Geometrische Reihe, Geometrische Summenformel

ThePrestige aktiv_icon

13:50 Uhr, 01.11.2015

Schönen Sonntag zusammen!

Ich stehe vor folgendem Problem:

Gegeben: Eine geometrische Folge mit

a 1 = 12

= \frac{3}{128}

= \frac{3069}{128}

(Ist die Summe von

a 1 + a 2 + a 3 +

. . .

+

an)

Hier beide Formeln:

an

= a 1 \cdot q^{n - 1}

= a 1 \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}

Ich muss jetzt

q

und

n

berechnen.

Wenn ich einsetze sieht es wie folgt aus:

\frac{3}{128} = 12 \cdot q^{n} - 1

oder

\frac{3069}{128} = 12 \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}

Jetzt sollte es eigentlich möglich sein, entweder nach

q

oder

n

aufzulösen, ich schaffe es aber nicht.

Hier die Lösung, ich benötige aber einen Lösungsweg:

q = \frac{1}{2}

n = 10

Ich bedanke mich für jede Hilfestellung!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Eva88 aktiv_icon

16:11 Uhr, 01.11.2015

\frac{3}{128} = 12 \cdot q^{n} - 1

\frac{131}{128} = 12 \cdot q^{n}

\frac{131}{128 \cdot 12} = q^{n}

q^{n} = \frac{131}{1536}

\frac{3069}{128} = 12 \cdot \frac{\frac{131}{1536} - 1}{q - 1}

nach

q

umstellen sann nach

n

umstellen.

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16:38 Uhr, 01.11.2015

Guter Ansatz danke

Aber die Auflösung nach

q

ergibt leider

\frac{1664}{3069},

was

0.542196

entspricht.

q

sollte aber, wie oben schon erwähnt genau

\frac{1}{2}

sein. Wo liegt der Fehler?

Bummerang

16:43 Uhr, 01.11.2015

Hallo,

der Fehler von Eva88 ist, dass sie ohne eigenes Nachdenken Deinen hier falsch eingestellten Ansatz übernommen hat. Da Du die korrekte Formel weiter oben richtig geschrieben hattest, handelt es sich beim Fehler im Ansatz um einen Schusselfehlet: Die "-1" gehören nämlich noch mit in den Exponenten!

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16:50 Uhr, 01.11.2015

Ich habe den Fehler nun auch bemerkt, dies tut mir leid. Ich werde ihn korrigieren. Aber wie soll ich jetzt an die Aufgabe heran? Was soll ich nun tun, da ich nicht mehr nach qn auflösen kann?

Bummerang

16:53 Uhr, 01.11.2015

Hallo,

natürlich muss zuerst die

12

weg und dann steht da

q^{n - 1} = . .

. und das schreit doch förmlich nach Logarithmieren!

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17:04 Uhr, 01.11.2015

Das habe ich versucht und ich erhalte für

n = \frac{ln (\frac{1}{512})}{ln (q)} + 1

Beim Einsetzen in die Formel kommt beim Taschenrechner nur "true" heraus, wenn ich

q

haben möchte.

Hier was ich eingesetzt habe:

\frac{1}{512} = q^{(\frac{ln (\frac{1}{512})}{ln (q)} + 1) - 1}

Ist das richtig?

Bummerang

17:12 Uhr, 01.11.2015

Hallo,

das Logarithmieren dient zur Ermittlung von

n,

nachdem Du

q

ermittelt hast! Um

q

zu ermitteln kannst Du

z . B

. die Gleichung

q^{n - 1} = . .

. mit

q

multiplizieren und dann das

q^{n}

in der anderen Gleichung ersetzen. Damit verdchwindet das

n

aus der Gleichung.

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17:18 Uhr, 01.11.2015

Das heisst also

\frac{1}{512} \cdot q = q^{n}

?

Tut mir leid wenn ich Frage, aber wie kann man

q^{n - 1}

mit

q

multiplizieren, so dass nur

q^{n}

übrig bleibt? Was ist das für eine Regel? Kannst du das erläutern, wie das genau funktioniert?

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17:23 Uhr, 01.11.2015

Ich glaube, ich kann dir leider nicht ganz Folgen. Kannst du vielleicht die Gleichung hinschreiben, die

q = \frac{1}{2}

ergeben soll? Vielleicht mit Lösungsweg wäre es sehr lieb!

Bummerang

17:34 Uhr, 01.11.2015

Hallo,

q^{n - 1} \cdot q = q^{((n - 1) + 1)}

Den Exponenten kann man leicht zusammenfassen und die dafür verwendete Regel nennt sich "Potenzgesetze", die man so in der Schule gelernt hatte, so 7-te Klasse

(\pm 1

Klasse)...

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17:40 Uhr, 01.11.2015

Ich habe es versucht wie du es gesagt hast. Bei mir will es aber nicht funktionieren. Kannst du vielleicht die Gleichung hinschreiben, die

q = \frac{1}{2}

ergeben soll? Vielleicht mit Lösungsweg wäre sehr lieb! Du würdest mir einen riesen Gefallen machen. Ich versuche schon seit einigen Stunden diese Aufgabe zu bändigen, bisher ohne Erfolg.

Ich hoffe, dass ist nicht zu viel verlangt.

Bummerang

17:52 Uhr, 01.11.2015

Hallo,

fassen wir mal zusammen, was Du hier für einen Eindruck von Dir verbreitest:

Gymnasiast aus 10-ter Klasse kennt keine Potenzgesetze und kann, nachdem er

\frac{1}{512} \cdot q = q^{n}

kennt, das nicht in

\frac{3069}{128} = 12 \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}

einsetzen, so dass er

\frac{3069}{128} = 12 \cdot \frac{\frac{1}{512} \cdot q - 1}{q - 1}

erhält!

Jetzt zeige mal, dass der Eindruck nicht ganz korrekt ist und stelle diese Gleichung nach

q

um!

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18:15 Uhr, 01.11.2015

Laut Taschenrechner hast du hier vollkommen recht.

q = \frac{1}{2}

Ich muss dich leider enttäuschen, aber per Hand schaffe ich es nicht. Wenn du mir also helfen willst, sehr gerne, ansonsten tut es mir leid, dass ich die Erwartungen so hoch angesetzt habe. Aber es gab da schon einen Grund, dass ich diese Frage gestellt habe. Ich brauche hilfe und es wäre sehr nett von dir wenn du mir den weg zu

q

zeigen könntest.

Bummerang

18:19 Uhr, 01.11.2015

Hallo,

teile beide Seiten durch

12

(Kürzen nicht vergessen!) und multpliziere beide Seiten mit

(q - 1)!

ThePrestige aktiv_icon

18:40 Uhr, 01.11.2015

Vielen Dank für eure Hilfe, es hat geklappt!

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