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Geometrische Folge: a1 und n fehlen!

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

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10:08 Uhr, 03.11.2016

Moin zusammen,

ich stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch und komme mit den üblichen Formeln nicht mehr weiter.

Gegeben ist:

q = 5,

= 12500,

= 15624

Gesucht wird:

a 1, n

Mir fehlt ein konkreter Ansatz, irgendwie komme ich ohne

n

nicht auf

a 1

und anders herum genau so...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

10:20 Uhr, 03.11.2016

Verwende

a_{n} = a_{1} \cdot 5^{n - 1}

s_{n} = \frac{a_{1} \cdot (5^{n} - 1)}{5 - 1}

Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte.

( Zur Kontrolle

: n = 6

und

a_{1} = 4)

Bummerang

10:30 Uhr, 03.11.2016

Hallo,

Angenommen, der Index startet bei 0:

a_{n} = a_{0} \cdot q^{n} \Rightarrow q^{n} = \frac{a_{n}}{a_{0}} \Rightarrow q^{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{0}} \cdot q

s_{n} = a_{0} \cdot \frac{q^{n + 1} - 1}{q - 1} = a_{0} \cdot \frac{\frac{a_{n}}{a_{0}} \cdot q - 1}{q - 1}

s_{n} \cdot (q - 1) = a_{0} \cdot (\frac{a_{n}}{a_{0}} \cdot q - 1) = a_{n} \cdot q - a_{0}

a_{0} = a_{n} \cdot q - s_{n} \cdot (q - 1)

q^{n} = \frac{a_{n}}{a_{0}} \Rightarrow n \cdot ln (q) = ln (a_{n}) - ln (a_{0}) \Rightarrow n = \frac{ln (a_{n}) - ln (a_{0})}{ln (q)}

Jetzt hast Du eine Folge, die mit dem Index 0 startet. Wenn die Lösungsfolge auch mit 0 startet, musst Du noch

a_{1}

berechnen:

a_{1} = a_{0} \cdot q = (a_{n} \cdot q - s_{n} \cdot (q - 1)) \cdot q = a_{n} \cdot q^{2} - s_{n} \cdot (q - 1) \cdot q

Wenn die Lösungsfolge mit dem Index 1 startet, musst Du alle werte in einer gedachten Wertetabelle um eins nach rechts schieben. Damit hat

a_{1}

dann den Wert vom errechneten

a_{0}

und das gesuchte

n

ist um eins größer als das errechnete

n

seri27 aktiv_icon

11:09 Uhr, 03.11.2016

Danke für den Ansatz, ich habe nun beide Formeln nach

a 1

aufgelöst um diese Gleichsetzen zu können, der Zwischenstand ist nun

\frac{12500}{5^{n} - 1} = \frac{62496}{5^{n - 1}}

Respon

11:12 Uhr, 03.11.2016

Sieht gut aus.
Und jetzt verwende

5^{n - 1} = \frac{5^{n}}{5}

Du bekommst dann eine Gleichung für

5^{n}

.
Zur leichteren Berechnung kannst du jetzt

z . B

z = 5^{n}

setzen.
Man bekommt dann eine sehr einfache Gleichung für

z

.
usw.

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11:23 Uhr, 03.11.2016

Die Logik dahinter verstehe ich, aber ich bekomme das

n

bzw. das

5 n

nicht da raus, mich verwirrt gerade die "normale"

- 1

und die

- 1

im Exponent...

Respon

11:32 Uhr, 03.11.2016

Vermutlich hast du

5^{n - 1}

und

5^{n} - 1

durcheinandergebracht.

\frac{12500}{5^{n - 1}} = \frac{62496}{5^{n} - 1}

\frac{12500}{\frac{5^{n}}{5}} = \frac{62496}{5^{n} - 1}

\frac{12500 \cdot 5}{5^{n}} = \frac{62496}{5^{n} - 1}

\frac{62500}{z} = \frac{62496}{z - 1}

z = . .

n = . .

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11:45 Uhr, 03.11.2016

Ist der Zwischenschritt

62500 = 62496 (z^{2} - z)

korrekt oder warum hänge ich da nun wieder fest?

Respon

11:50 Uhr, 03.11.2016

Ein

z^{2}

dürfte nicht vorkommen

\frac{62500}{z} = \frac{62496}{z - 1}

| \cdot z \cdot (z - 1)

\Rightarrow

62500 \cdot (z - 1) = 62496 \cdot z

62500 \cdot z - 62500 = 62496 \cdot z

z = . .

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12:10 Uhr, 03.11.2016

62500 (z - 1) = 62496 z

62500 z - 62500 = 62496 z

62500 z = 62496 z + 62500

4 z = 62500

z = 15625

also

5^{n} = 15625

log (5^{n}) = log (15625)

n \cdot log (5) = log (15625)

n = \frac{log (15625)}{log (5)}

n = 0,7

Wo liegt der Fehler?

Respon

12:13 Uhr, 03.11.2016

5^{n} = 15625

5^{n} = 5^{6}

n = 6

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12:14 Uhr, 03.11.2016

Beim Ausrechnen offenbar:

n = 6

(Du musst dich vertippt haben) :-)

seri27 aktiv_icon

12:16 Uhr, 03.11.2016

Ja, wenn man so erkennt mit der

6 . .

. wir müssen im Studium den Beweis über den

log ()

machen. Aber selbst das wäre das richtige Ergebnis sehe ich gerade, mein letzter Rechenschritt ergibt nämlich 6 und nicht

0,7 . .

. einmal statt Taschenrechner den Windows-Rechner benutzt...

Bummerang

20:44 Uhr, 03.11.2016

Hallo,

"einmal statt Taschenrechner den Windows-Rechner benutzt..."

Das liegt nicht am anderen Taschenrechner, sondern daran, dass am Ende nicht die Ergebnistaste ("=") gedrückt wurde. Ohne diese Taste bringt auch Dein Taschenrechner nicht das richtige Ergebnis! Typischer Fall von Anwenderfehler mit anschließender Schuldzuweisung an die Technik!

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