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Geometrische Reihe beginnt nicht bei 0

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Finanzmathematik

Biene1909 aktiv_icon

11:37 Uhr, 25.11.2019

Guten Morgen,

die geometrische Reihe beginnt nicht bei 0 sondern 1.

Anbei meine Lösung. Wäre dies richtig?

Lieben Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

11:45 Uhr, 25.11.2019

Dein Exponent

2 k

zwischendurch ist Unsinn, die Sache startet mit

\sum_{k = 1}^{6} (- 1)^{k} \cdot 2^{k} = \sum_{k = 1}^{6} (- 2)^{k} = \sum_{k = 0}^{5} (- 2)^{k + 1} = (- 2) \cdot \sum_{k = 0}^{5} (- 2)^{k}

Am Ende scheinst du dennoch die Kurve zu kriegen, auch wenn wichtige Klammern fehlen:

(- 2) \cdot \frac{(- 2)^{6} - 1}{- 2 - 1} = 42

pivot aktiv_icon

11:53 Uhr, 25.11.2019

Hallo,

du hast ein Potenzgesetz nicht richtig beachtet. Es gilt

(- 1)^{k} \cdot 2^{k} = (- 2)^{k}

und nicht

(- 2)^{2 k}

Du hättest diese "falsche 2" im Exponenten berücksichtigen müsssen. Da du dies aber nicht getan hast, stimmt dein Ergebnis wieder.

Gruß

pivot

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11:57 Uhr, 25.11.2019

gelöscht (überflüssig)

Biene1909 aktiv_icon

12:12 Uhr, 25.11.2019

Vielen Lieben Dank!

Habe noch eine Frage. Es gibt ja bei der geometrischen Reihe verschiedene Formel. Habe diese mal aufgeschrieben und meine Gedanken hinzugefügt. Kannst du mir evtl. noch sagen, wann ich welche davon verwende?

Vielen Dank im Voraus!

pivot aktiv_icon

12:54 Uhr, 25.11.2019

Die zweite Summenformel verwendest du, wenn der Index

i

von

i = 0

bis (nur)

i = n - 1

läuft.

a \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} k^{i} = a \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1} (1)

Im Gegensatz zum anderen Beispiel ist hier

k

nicht der Laufindex sondern der Faktor

k

, welcher exponentiert aufsummiert wird. Des Weiteren werden alle Summanden mit dem Faktor

a

multipliziert.

Beispiel:

S = 3 \cdot 5^{0} + 3 \cdot 5^{1} + 3 \cdot 5^{2} + \dots + 3 \cdot 5^{9}

Hier ist

a = 3, k = 5, n - 1 = 9 \Rightarrow n = 10

. Somit ist

S = 3 \cdot \frac{5^{10} - 1}{5 - 1}

Wenn man weiterhin den Laufindex k verwendet kann man die Formel auch so schreiben:

a \cdot \sum_{k = 0}^{n - 1} q^{k} = a \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1} (2)

Die Formeln (1) und (2) sind äquivalent.

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