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Geometrische Verteilung

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Zufallsvariablen

Tags: Verteilungsfunktion, Zufallsvariablen

NoFearOfFainting aktiv_icon

03:28 Uhr, 10.02.2020

Hi,
soweit ich weiß, muss eine Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen und damit die Summe über alle Einzelwahrscheinlichkeiten

p_{i}

ihrer Verteilung immer

1

ergeben.
Wie ist das bei der geometrischen Verteilung möglich, wo die

p_{i}

mit größer werdendem

i

immer kleiner werden, sich

0

aber nur annähern? Dadurch gibt es unendlich viele Einzelwahrscheinlichkeiten, die in Summe

1

ergeben müssten, wie soll das gehen?

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

06:48 Uhr, 10.02.2020

>

Dadurch gibt es unendlich viele Einzelwahrscheinlichkeiten, die in Summe 1 ergeben müssten,
Genau so ist es!

>

wie soll das gehen?
Na, denk doch mal an eine konvergente (unendliche) geometrische Reihe!

NoFearOfFainting aktiv_icon

18:26 Uhr, 10.02.2020

Was macht denn die geometrische Reihe? Auf welchen springenden Punkt spielst du an? Ich würde es gerne verstehen

Danke

Roman-22

18:55 Uhr, 10.02.2020

>

Auf welchen springenden Punkt spielst du an?
Dass bei einer konvergenten unendlichen geometrischen Reihe unendlich viele (immer kleiner werdende) Werte addiert werden und dennoch einen endlichen Wert (zb. eben auch

1)

ergeben.
Hast du sicher in der Schule von gehört. Ein gern gebrachtes Beispiel dazu ist der Wettlauf zwischen Achilles und einer Schildkröte.

Die WKTen bei der geometrischen Verteilung bilden eben eine geometrische Folge, ihre Summe dann eine geometrische Reihe.

Beispiel:

X =

Anzahl der Würfe mit einem gewöhnlichen Würfel bis zum ersten Mal eine 6 kommt.
Es ist

P (X = 1) = \frac{1}{6}

P (X = 2) = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}

P (X = 3) = {(\frac{5}{6})}^{2} \cdot \frac{1}{6}

... . .

P (X = n) = {(\frac{5}{6})}^{n - 1} \cdot \frac{1}{6}

... . .

.

und jetzt alle unendlich vielen WKTen aufsummieren

\sum_{k = 1}^{\infty} [{(\frac{5}{6})}^{k - 1} \cdot \frac{1}{6}] = \frac{1}{6} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{5}{6})}^{k - 1} = \frac{1}{6} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{5}{6})}^{n} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{1 - \frac{5}{6}} = 1

Hier wurde die hoffentlich bekannte Summenformel für konvergente unendliche geoemtrische Reihen verwendet

\sum_{n = 0}^{\infty} q^{n} = \frac{1}{1 - q}

falls

| q | < 1

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