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Geometrische Verteilung

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Tags: Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

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limes21

limes21 aktiv_icon

19:27 Uhr, 06.05.2023

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Hi,

ich würde gerne fragen, ob mein Ansatz zu folgender Aufgabe korrekt ist.

X

ist geometrisch verteilt zu

p \in (0,1)

Zeige das für alle

k \in ℕ

und

i \in ℕ_{0}

gilt, dass

P (X = k + 1 | X > i) = P (X = k)

Freue mich über eure Tipps.

BG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

pivot

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13:18 Uhr, 07.05.2023

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Ich habe den Thread verwechselt. Überarbeite meine Antwort.

limes21

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13:36 Uhr, 07.05.2023

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Hallo Pivot,

vielen Dank für deine Antwort schon mal.

Anbei ein Screenshot der originalen Aufgabenstellung.
Es wird wirklich nach

P (X = k + i | X > i)

gesucht. Jetzt ist doch klar, dass

k + i > i

immer sowieso schon erfüllt ist, oder? Weil

k \in ℕ

und

i \in ℕ_{0}

.

Wäre dann nicht

P (X = k + i | X > i) = \frac{P (X = k + i ⋂ X > i)}{P (X > i)} = \frac{P (X = k + i)}{P (X > i)}

?

Entschuldigung, gerade erst deine überarbeitete Antwort gesehen. Vielleicht ist der Screenshot und mein Ansatz ja trotzdem von Nutzen, damit man sieht, wo ich falsch abgebogen bin.

BG

Screenshot 2023-05-07 133241

Antwort

pivot

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13:39 Uhr, 07.05.2023

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Kannst du den Screenshot hochladen?

limes21

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13:45 Uhr, 07.05.2023

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Hi Pivot, Screenshot sollte jetzt da sein, taugt der dir was?

Antwort

pivot

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13:52 Uhr, 07.05.2023

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Ja, der Ansatz ist richtig. Kannst du weitermachen?

limes21

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13:57 Uhr, 07.05.2023

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nein, leider komme ich beim Umformen nicht weiter. Kurzen Moment, ich schreibe den Weg schnell auf.

limes21

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14:08 Uhr, 07.05.2023

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Beim Ansatz von oben weitergemacht:

den Nenner habe ich mit

P (X = k + i) = p \cdot {(1 - p)}^{k + i - 1}

schon gegeben durch die geometrische Verteilung

den Zähler bestimme ich nun über

P (X > i) = 1 - P (X \leq i) = 1 - \sum_{n = 1}^{i} p \cdot {(1 - p)}^{n - 1},

jetzt Indexshift

= 1 - \sum_{n = 0}^{i - 1} p \cdot {(1 - p)}^{n - 2} = 1 - \frac{p}{{(1 - p)}^{2}} \cdot \sum_{n = 0}^{i - 1} {(1 - p)}^{n},

jetzt endliche geometrische Reihe nutzen

= 1 - \frac{p}{{(1 - p)}^{2}} \cdot \frac{{(1 - p)}^{i} - 1}{p - 1}

hier komme ich aber jetzt nicht weiter.

Antwort

pivot

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14:16 Uhr, 07.05.2023

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Richtiger Ansatz.

Zum Indexschift:

n - 1 = m \Rightarrow n = m + 1

n = 1 \Rightarrow m = 0

Also muss es bei dir heißen

1 - \sum_{n = 0}^{i - 1} p (1 - p)^{n}

und nicht

n - 2

im Exponenten.

limes21

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14:17 Uhr, 07.05.2023

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Vielen Dank, ich mach mich mal dran das umzusetzen.

Antwort

pivot

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14:18 Uhr, 07.05.2023

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O.K. Es ist jetzt auch wesentlich einfacher.

limes21

limes21 aktiv_icon

14:45 Uhr, 07.05.2023

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Ok, also ich habe es denke ich.

also noch mal mein Weg:

für den Nenner, also für

P (X > i)

berechne ich wie folgt:

P (X > i) = 1 - P (X \leq i) = 1 - \sum_{n = 1}^{i} P (X = n) = 1 - \sum_{n = 1}^{i} p \cdot {(1 - p)}^{n - 1} = 1 - p \cdot \sum_{n = 1}^{i} {(1 - p)}^{n - 1}

jetzt der Indexschift:

= 1 - p \cdot \sum_{n = 0}^{i - 1} {(1 - p)}^{n}

jetzt endliche geometrische Reihe

= 1 - p \cdot \frac{{(1 - p)}^{i - 1 + 1} - 1}{(1 - p) - 1} = 1 - p \cdot \frac{{(1 - p)}^{i} - 1}{- p} = 1 + {(1 - p)}^{i} - 1 = {(1 - p)}^{i}

Jetzt setzten wir das in die Ausgangsgleichung vom Ansatz ein, also

\frac{P (X = k + i)}{P (X > i)}

dann erhalten wir:

\frac{p \cdot {(1 - p)}^{k + i - 1}}{{(1 - p)}^{i}} = p \cdot {(1 - p)}^{k - 1}

was zu zeigen war.

Ich hoffe das passt so.

Vielen Dank noch mal für deine Hilfe Pivot!

Antwort

pivot

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14:55 Uhr, 07.05.2023

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Gerne. Perfekt. Schönen Sonntag wünsche ich dir noch.
Bitte abhaken.

Frage beantwortet

limes21

limes21 aktiv_icon

14:58 Uhr, 07.05.2023

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Wünsche ich dir auch.

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