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Geometrische /algebraische Vielfachheit

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenwert

danny19 aktiv_icon

11:11 Uhr, 02.05.2014

Hallo liebe Community^^

kurze Frage: Es gilt algebraische Vielfach.

\geq

geometrische Vielfac..

Ich bekomme bei meinem Beispiel eine geometrische Vielfach von 3 Obwohl die algebraische nur 1 ist! hab ich mich da verrechnet? Oder existiert in diesem Fall kein eigenwert?

danke!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:29 Uhr, 02.05.2014

Du musst schon Dein Beispiel zeigen. :-)
Wahrscheinlich hast Du die algebraische Vielfachheit falsch.

danny19 aktiv_icon

11:37 Uhr, 02.05.2014

Mein Beispiel:
1 0 0
1 3 2
1 2 3

Meine Eigenwerte sind a^2= 1 und a = 5

somit: a = 1

0 0 0 x1 = 0
1 2 2 x2 = 0
1 2 2 x3 = 0

und hier ist die geometrisch Vielfachheit 3 oder ??

danke

danny19 aktiv_icon

11:49 Uhr, 02.05.2014

Aber ganz allgemein gesehen, ist es nicht möglich dass die geometrische Vielfachheit größer als die algebraische ist??

DrBoogie aktiv_icon

12:01 Uhr, 02.05.2014

"Aber ganz allgemein gesehen, ist es nicht möglich dass die geometrische Vielfachheit größer als die algebraische ist??"

Nein, nicht möglich.

Jetzt zu Deinem Fall.
Das charakteristische Polynom ist

x^{3} - 7 x^{2} + 11 x - 5 = (x - 5) (x - 1)^{2}

.
Eigenwerte:

1

und

5

.
Die algebraischen Vielfachheiten von Eigenwerten:

1

für

x = 5

und

2

für

x = 1

(algebraische Vielfachheiten sind Potenzen in der Zerlegung des charakteristischen Polynoms).
Jetzt zu geometrischen Vielfachheiten.
Geometrische Vielfachheit von

x = 1

ist die Dimension des Unterraumes

K e r n (A - 1 \cdot E)

, wo

E

-die Einheitsmatrix ist. Finden wir diesen Raum:

v = (x, y, z) \in K e r n (A - E)

< = > (A - E) v = 0 < = > (\begin{array}{rcl} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}) (x, y, z)^{t} = 0 < = > x + 2 y + 2 z = 0

.
Wir haben nur eine Gleichung für drei Parameter, d.h. zwei Parameter (z.B.

y

und

z

) sind frei wählbar, also ist die Dimension von

K e r n (A - E)

gleich

2

, und das ist die
geometrische Vielfachheit vom Eigenwert

1

.
Genauso zeigt man, dass die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts

5

gleich

1

ist.

danny19 aktiv_icon

12:08 Uhr, 02.05.2014

Uuuuu dankeschön:-)
ich hab wohl das mit der geometrischen Vielfachheit missverstanden, denn ich dachte die geometrische Vielfacheheit wäre 3 !!!

Danke hast mir echt geholfen^^

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