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Gerade im Raum als Koordinatenform darstellen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: Analysis, Matrizenrechnung, Vektorraum

Maneldi aktiv_icon

14:01 Uhr, 04.04.2018

Gibt es eine Möglichkeit eine Gerade im 3D-Raum in Koordinatenform darzustellen?
Ziel ist es, diese in ein Gleichungssystem zu implementieren.

Derzeit verwende ich Ebenengleichungen in Koordinatenform, möchte aber, um bessere Ergebnisse zu erzielen,

F 1 - F 4

als Schnittgeraden dieser Ebenen darstellen. Das ganze wird in matlab gelöst.

F (1) = x (1) - x (3);

F (2) = - x (5) + x (6);

F (3) = x (7) + x (9) - 4;

F (4) = x (11) + x (12) - 4;

F (5) = . .

. .

F (12) = . .

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

14:20 Uhr, 04.04.2018

.
"Gibt es eine Möglichkeit eine Gerade im 3D-Raum in Koordinatenform darzustellen?"

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... \to N E I N

und ja :
du könntest eine Gerade

\to

\to

als Schnittmenge zweier in Koordinatenform gegebenen Ebenen notieren

(\to

zwei Gleichungen)

oder

\to

mit drei Gleichungen für die Komponenten

x, y, z

(je mit Parameter

t)

Maneldi aktiv_icon

14:38 Uhr, 04.04.2018

Zu 2.:→ mit drei Gleichungen für die Komponenten

x, y, z

(je mit Parameter

t)

was muss ich googlen damit ich was dazu zum lesen finde?

ledum aktiv_icon

22:18 Uhr, 04.04.2018

Hallo
jede Kurve im Raum wird durch einen Vektor

\vec{r} (t) = (x (t), y (t), z (t))

angegeben, also such unter Raumkurven .
für Geraden ist das aber nichts anderes als

g (t) = \vec{a} + t \cdot \vec{b}

und als gleichungen eben die der 3 Komponenten.
Gruß ledum

Maneldi aktiv_icon

11:47 Uhr, 05.04.2018

Also aus

F (1)

und

F (2) [(F 1)

und

F (2)

schneiden sich)

]

entsteht sowas:

x 1 = a 1 + t \cdot b 1

x 2 = a 2 + t \cdot b 2

x 3 = a 3 + t \cdot b 3

Für

F (2)

und

F (3) [(F 1)

und

F (2)

schneiden sich)

]

entsteht:

x 4 = a 4 + t \cdot b 4

x 5 = a 5 + t \cdot b 5

x 6 = a 6 + t \cdot b 6

und so weiter...
Also anstatt 2 Gleichungen habe ich jeweils 3?

ledum aktiv_icon

11:53 Uhr, 05.04.2018

Hallo
ja, aber die Koordinaten

x_{4},

usw zu nennen ist nicht sinnvoll, die gerade 2 hat ja dasselbe Koordinatensystem wie gerade

1 -

Und in Wirlöichket ist das ja die sog. Parametergleichung, also Aufpunkt+ t*Richtungsvektor, ur die einzelnen Koordinaten aufgeschreiben, statt in Vektorform.
Gruß ledum

Maneldi aktiv_icon

14:15 Uhr, 09.04.2018

Hi,
die Koordinaten

x 4,

usw (das geht bis

x 12)

sind deshalb so gewählt, da ich aus insgesamt 4 Ebenen (die eine Pyramidenform ergeben) 4 Schnittgeraden generiere. Jede dieser Schnittgerade besitzt einen anderen Aufpunkt. Daher

x 4

usw. Sonst wäre es ja immer der gleiche Punkt.

Konkret ist Folgendes mein Anliegen:
Ich habe eine Pyramide als experimentelles Bauteil. Die Seitenflächen dieser Pyramide kenne ich (siehe

F (1) - F (4))

. Wenn mir nun eine Querschnittsebene aus der Pyramide als Bild gegeben wird, also in Form eines Vierecks, ist die Aufgabe die Lage dieser Querschnittsebene, die ja innerhalb meiner Pyramide irgendwo liegt, zu identifizieren und als Ebenengleichung aufzustellen.
Aus dem Bild kenne ich die 4 Kantenlängen, die 4 Winkelgrößen. Die 4 Seitenflächen in Koordinatenform habe ich mittel Koordinatenmessgerät erstellt.

D . h

12

Gleichungen und

12 (x 1 - x 12)

Unbekannte. Jetzt möchte ich aber nicht die Seitenflächen in mein Koordinatensystem implementieren, sondern meine Schnittgeraden.
Die Frage ist nun wie, da Geraden im Raum nicht in Koordinatenform existieren?

Hoffe das war in der Kürze auch verständlich...
Vielen Dank!

ledum aktiv_icon

15:44 Uhr, 09.04.2018

Klar ist dein Anliegen leider nicht.
schon deine Darstellung der Ebenen:F(1)=x(1)−x(3) verstehe ich nicht. soll das heissen

F! : x_{1} - x_{3} = 0

oder was bedeutet

x (1)

usw..
eine Ebene in Koordinatendarstellung ist ax_1+bx_2+cx_3=d
auch dein Darstellung mit

x_{4}, x_{5}

x_{6}

für eine zweite gerade ist sinnlos, die geraden unterscheiden sich durch die

a_{i}

und

b_{i},

nicht indem man die Koordinaten umbenennt.
Warum kennst du mittels deines Koordinatenmeßgeräts nicht einfach die Eckpunkte deines Vierecks.
Kurz ich weiss nicht was du hast, wie du Ebenen beschreibst, und was genau du suchst?
vielleicht machst du ne Zeichnung und erläuterst daran, was gegeben, was gesucht ist.
Gruß ledum

Maneldi aktiv_icon

10:01 Uhr, 12.04.2018

Ja genau das soll

x_{1}, x_{2}

usw. heißen...
Anbei sind zwei Bilder:
Zu Bild 1:
1: Das ist ein Bild der Pyramide. Die Seitenflächen der Pyramide sind mir als Koordinatenform bekannt. Das rote Rechteck stellt meine Schnittebene dar. Dort Trenne ich meine Pyramide und ich schaue mir die Trennfläche der unteren Teilpyramide an. Das sieht dann in etwa so aus wie in 2.
2: Draufsicht auf Schnittfläche:
Aus diesem Bild kann ich folgendes ablesen. Meine 4 Kantenlängen und meine 4 Winkel.
Die Koordinaten meiner 4 Eckpunkte kenne ich nicht. Hier

P_{1} = x_{1}, y_{1}, z_{1} P_{2} = x_{2}, y_{2}, z_{2}

usw. (oder halt

x_{1} - x_{12})

Es ist aber das Ziel diese, durch lösen eines Gleichungssystems zu bestimmen. Dazu jetzt 3.
3.Gleichungssystem (2.Blatt)
Gleichung

1 - 4

sind meine Ebenen in Koordinatenform
Gleichung

5 - 8

stellen meine Kantenlängen dar. Bsp: Kantenlänge 1 ist die euklidische Norm von Punkt 1 und 2.
Und Gleichung

9 - 12

sind die Formeln für meine Winkel, dargestellt mit den jeweiligen Punkten.

Somit habe ich

12

Gleichungen und

12

Unbekannte. Das lässt sich ja iterativ in Matlab lösen.
Nun möchte ich keine Ebenengleichungen miteinbringen wie in Gleichung

1 - 4,

sondern dessen Schnittgeraden.

Maneldi aktiv_icon

10:04 Uhr, 12.04.2018

hier Bild 2

Maneldi aktiv_icon

10:13 Uhr, 12.04.2018

Irgendwie klappt das hochladen von Bildern nicht richtig. Hier das 2.Bild

drive.google.com/open?id=1GzWHsIh2pdQu6AkcBkIUH3NY8OMLsRRm

Maneldi aktiv_icon

14:46 Uhr, 13.04.2018

Danke! Frage hat sich erledigt.
rundblick hat meine Frage bereits beantworten können. Trotzdem vielen Dank ledum für die Diskussion

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