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Gerade schneidet zwei winschiefe Geraden

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

Lars1997 aktiv_icon

15:33 Uhr, 31.12.2018

Moin.

gegeben sind zwei windschiefe Geraden

\vec{r} (t) = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix})

und

\vec{r} (s) = (\begin{matrix} - 4 \\ - 2 \\ 5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 1 \\ 4 \end{matrix})

und der Vektor

\vec{g_{0}} = (\begin{matrix} 9 \\ 2 \\ - 11 \end{matrix})

. Wenn die Richtungsvektoren und der Vektor nicht komplanar sind, dann gibt es genau eine Gerade, die parallel zu

\vec{g_{0}}

liegt und die beiden windschiefen Geraden schneidet. In welchen Punkten

P_{3}

und

P_{4}

?

Theoretisch muss ich ja eine Gerade finden, die die beiden Geraden schneidet. Nun ist die Frage ob diese Gerade senkrecht zu den beiden windschiefen Geraden stehen muss. Dann wäre es ja das Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren. Oder kann diese Gerade auch nicht senkrecht zu beiden Geraden sein, sodass ich nicht den Normalenvektor benutzen kann.

Bin da ein wnig überfragt, hoffe jemand kann mir einen Lösungsansatz bzw. den Lösungsweg

+

Lösung hier hinein schreiben.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

e60lukas

16:09 Uhr, 31.12.2018

Hallo Lars,

versuch mal folgendes:

P 3

liegt auf der ersten Geraden mot den Koordinaten

(1,3,1) + t (- 2, - 1,3)

mit einem geeigneten

t

P 4

liegt auf der zweiten Geraden mot den Koordinaten

(- 4, - 2,5) + s (- 3,1,4)

mit einem geeigneten

s

.

Der Vektor von

P 3

P 4,

also

P 3 - P 4

muss die Richtung

u (9,2, - 11)

mit einem geeigneten

u

haben.

Dies führt zum linearen Gleichungssystem:

1 - 2 t + 4 + 3 s = 9 u

3 - t + 2 - s = 2 u

1 + 3 t - 5 - 4 s = - 11 u

.

Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar und du kannst

P 3

und

P 4

und daraus die Gerade parallel zur Richtung

g 0

bestimmen.

Vielleicht hilft dir das.

Viel Grüße
EL

Lars1997 aktiv_icon

18:11 Uhr, 31.12.2018

Möglicherweise habe ich das LGS falsch aufgelöst..

2 x

als Werte sollen da

P_{3} (5 | 5 | - 5)

und

P_{4} (- 13 | 1 | 17)

hast du das auch raus?

e60lukas

18:27 Uhr, 31.12.2018

Hallo Lars,

Ich bekomme aus dem LGS

t = - 2, s = 3, u = 2

. Beim Einsetzen in die Geradengleichungen erhält man genau deine Lösungen.

Möglicherweise hast du dich tatsächlich beim LGS etwas verrechnet.

Viele Grüße
EL

rundblick aktiv_icon

18:53 Uhr, 31.12.2018

.

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