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Geraden

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Tags: Geometrie, Geraden, Körper

 
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HAlOO

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21:10 Uhr, 20.10.2019

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Sei K ein endlicher Körper. Bestimmen Sie die Anzahl an Geraden in K2, die den Punkt 0 enthalten.

Meiner Meinung nach sind das ja unendlich viele oder? Aber ich liege wahrscheinlich falsch, weil so einfach kann es nicht sein.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
ledum

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22:58 Uhr, 20.10.2019

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du denkst an 2 aber K ist endlich, kennst due einen endlichen Körper? zum Beispiel F2 der nur aus 0 und 1 besteht. wieviele Geraden gibt es dann?
Gruß ledum
HAlOO

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07:24 Uhr, 21.10.2019

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In F2 gibt es dann eine Gerade, aber wie bestimme ich dann die Anzahl an Geraden in einem beliebigen endlichen Körper?
Antwort
ermanus

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11:11 Uhr, 21.10.2019

Antworten
Hallo,
in F22 gibt es drei Geraden.
Gruß ermanus
HAlOO

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11:15 Uhr, 21.10.2019

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Warum 3? das verstehe ich jetzt nicht ganz.
Antwort
ermanus

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11:17 Uhr, 21.10.2019

Antworten
Hier sind sie:
g1={(0,0),(1,0)},g2={(0,0),(0,1)},g3={(0,0),(1,1)}
HAlOO

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11:20 Uhr, 21.10.2019

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Ach ja, stimmt, das hätte ich jetzt verstanden. Weißt du auch, wie es im Allgemeinen Fall funktioniert?
Antwort
ermanus

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11:29 Uhr, 21.10.2019

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Klar!
Eine Gerade besteht aus allen skalaren Vielfachen eines Vektors0,
d.h. jede Gerade besitzt so viele Punkte/Vektoren, wie der Körper Elemente besitzt.
Zwei Punkte/Vektoren u,v0 liefern dieselbe Gerade genau dann, wenn
es ein xK* gibt mit xu=v.
Mit diesen Infos solltest du es (nach gewisser Grübelzeit) hinbekommen ;-)
Gruß ermanus
HAlOO

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15:51 Uhr, 21.10.2019

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Also ich verstehe das Prinzip, das du mir erklären möchtest, komme aber leider trotz lange Grübelzeit auf keine Anzahl in Abhängigkeit von einem endlichen Körper...
Antwort
ermanus

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15:58 Uhr, 21.10.2019

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Hallo,

Sei k die Anzahl der Elemente des Körpers K.
Die Ebene K2 hat dann klarerweise k2
Elemente. Eines der Elemente ist die (0,0),
d.h. es gibt außer dem Ursprung genau k2-1 Punkte.
Jede Gerade hat außer dem Ursprung k-1 Punkte.
Es verteilen sich also k2-1 Punkte auf ???? Geraden mit
je k-1 Punkten (0,0).

Gruß ermanus
Frage beantwortet
HAlOO

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16:21 Uhr, 21.10.2019

Antworten
Danke!