Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Geradengleichung in parameterfreien Form darstelle

Geradengleichung in parameterfreien Form darstelle

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

nalah aktiv_icon

17:43 Uhr, 18.10.2013

Hallo,
ich sitze jetzt schon ewig an folgender aufgabe:

Gegeben sind die Vektoren

a = i - j + k

und

b = i + 2 j + 3 k

a) a

und

b

seien 2 Aufpunkte einer Geraden. Wie lautet die Geradengleichung in der parameterfreien Form und in welcher Ebene liegt diese Gerade?

Mein bisheriger Ansatz:

g : x = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})

- \to

da man eine Gerade nicht im Raum, aber in einer Ebene parameterfrei darstellen kann, habe ich die Koordinatenebene gewählt und hab dann für die Ebene

x = - 1

rausbekommen (parallel zur z-Achse) und für

z = 0

- \to

dann habe ich diese beiden ebene geschnitten und

s = - 2 r - 1

für die Schnittgerade erhalten. die dann die zuvor angegeben Gerade in parameterfreien Form darstellen soll. Kann das stimmen?

d)

Bestimmen Sie die Koordinaten eines dritten Vektors

c,

so dass das Volumen des von

a, b

und

c

aufgespannten spats

10

beträgt.

- \to

ich hab zuerst das Vektorprodukt von a und

b

gebildet und dafür den Vektor

(\begin{matrix} - 5 \\ - 3 \\ 2 \end{matrix})

erhalten, dann wollte ich diesen mit dem gesuchten Vektor skalar multiplizieren und mit

10

gleichsetzen.

- \to

dann erhalte ich diese Gleichung mit 3 unbekannten:

- 5 x - 3 y + 2 z = 10

Und nun? Wie soll ich diese nun lösen?

über Ideen und Lösungsvorschläge wäre ich sehr dankbar!!!

Respon

18:23 Uhr, 18.10.2013

Eine parameterfreie Form der Geradengleichung im Raum existiert schon, allerdings sind es ZWEI Gleichungen. De facto stellen diese zwei Gleichungen projizierende Ebenen dar, deren Schnittgerade eben unsere Gerade ist.
Mit den Angaben würde sich nach Eliminierung des Parameters

r

ergeben:

x = 1

2 \cdot y - 3 \cdot z = - 5

Wegen der Form der ersten Gleichung läßt sich daraus schließen, dass die Gerade in einer zur yz-Ebene parallelen Ebene im Abstand

+ 1

liegt.

nalah aktiv_icon

11:40 Uhr, 20.10.2013

Hallo, vielen Dank fürs schnelle antworten!

Habe ich das richtig verstanden, die Ebene

x = 1

und

2 y - 3 z = - 5

haben meine in Parameterform angegebene Schnittgerade gemeinsam. Und würde diese in parameterfreien form das

y = - \frac{5}{2} + (\frac{3}{2}) t

lauten?

Vielleicht auch eine Idee zu Aufgabenteil

d)

in der die weitere Koordinate gesucht wird?

lg

Respon

11:45 Uhr, 20.10.2013

Das mit der parameterfreien Form einer Geraden in

ℝ^{3}

ist etwas heikel. Sie lautet nämlich:

x = 1

2 \cdot y - 3 \cdot z = - 5

( was eben die Schnittgerade impliziert ).

Respon

11:59 Uhr, 20.10.2013

Die beiden ursprünglichen Vektoren lauten

(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})

Das Vektorprodukt wäre dann

(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) x (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 5 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix})

Sei nun EIN gesuchter dritter Vektor

(\begin{matrix} x_{3} \\ y_{3} \\ z_{3} \end{matrix}),

dann gilt richtigerweise

- 5 \cdot x_{3} - 2 \cdot y_{3} + 3 \cdot z_{3} = 10

Ein Gleichungssystem dieser Art hat eine zweifach unendliche Schar von Lösungen. Zwei der Koordinaten frei wählen

(z . B

. mit Wert

0)

und die dritte Koordinate ausrechnen.
Setze ich

z . B

y_{3}

und

z_{3}

gleich

0,

so ergibt sich

x_{3} = - 2

.
Eine Möglichkeit des gesuchten Vektors wäre also

(\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

V = ((\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) x (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})) \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 5 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = 10

Da die Grundfläche durch die zwei gegebenen Vektoren fixiert ist und durch das gegebene Volumen auch die Höhe lassen sich unendlich viele ( schräge ) Vektoren der gesuchten Eigenschaft finden.

nalah aktiv_icon

12:07 Uhr, 20.10.2013

super, das mit der koordinate macht sinn!

nochmal kurz zur geradengleichung, hier würde ich dann als antwort einfach beide ebenen hinschreiben und das würde als antwort genügen?

Respon

12:12 Uhr, 20.10.2013

Hier ein link ( um eventuell darauf zu verweisen )
http//www.mathematische-basteleien.de/gerade.htm#Gerade%20im%20Raum

nalah aktiv_icon

12:27 Uhr, 20.10.2013

ok, vielen Dank!

Trace aktiv_icon

23:42 Uhr, 03.03.2015

Hallo, liebes Forum,

also, ich habe die selbe Aufgabe und wollte noch kurz eine Frage stellen ;-): also wir haben die Parameterform von der Geraden im Raum ermittelt. In die Normalform umgewandelt würden wir dadurch eine Ebene darstellen. Wir stellen zur Hilfe die Gerade als Schnittgerade zweier Ebenen dar.
Wir haben 2 Vektoren, wie kommen wir denn jetzt auf die Ebenen? Wir wissen ja nur, welche Vektoren die Gerade definieren, aber die Ebenen können ja alles mögliche sein, oder? :/und die ebenengleichungen brauchen wir ja, um die gerade zurückzuführen in die normalform, ja?

Danke schonmal fürs Zeit nehmen ;-)

Respon

00:04 Uhr, 04.03.2015

Beispiel

X = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})

\Rightarrow

x = 2 + t

y = 3 - t

z = 1 + 2 \cdot t

Durch Elimination von

t

erhalten wir 2 Gleichungen ( es gibt mehrere Möglichkeiten )

z . B

x + y = 5

2 \cdot x - z = 3

Da wir uns in

ℝ^{3}

befinden, folgende Interpretation als Ebenen.
I:

x + y + 0 \cdot z = 5

II:

2 \cdot x + 0 \cdot y - z = 3

Der Normalvektor der ersten Ebene ist

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}),

liegt also in der xy-Ebene.

D . h

. die Ebene steht senkrecht auf der xy-Ebene (projizierend).
Der Normalvektor der zweiten Ebene ist

(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}),

liegt also in der xz-Ebene.

D . h

. die Ebene steht senkrecht auf der xz-Ebene.
Die Schnittgerade beider Ebenen entspricht unserer Geraden.

Respon

00:19 Uhr, 04.03.2015

Dass es sich bei

x + y = 5

2 \cdot x - z = 3

tatsächlich um unsere Gerade handelt, läßt sich leicht zeigen.
Ich erkläre

(z . B

) x

zum Parameter

t

\Rightarrow

x = t

y = 5 - t

z = - 3 + 2 \cdot t

Damit "füllen" wir die Gleichung der Geraden auf.

X = (\begin{matrix} ... \\ ... \\ ... \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} ... \\ ... \\ ... \end{matrix})

Also

X = (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ - 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})

( Natürlich erhalten wir einen anderen Stützvektor als in der Originalgleichung, es läßt sich aber zeigen, dass

(\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ - 3 \end{matrix})

ein Punkt der Geraden ist.

Trace aktiv_icon

12:19 Uhr, 04.03.2015

Super, vielen Dank! :-)

1221028

1119154

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?