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Geradenschar

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ebengleichung, Geradenschar, parallel

Sonja92 aktiv_icon

21:50 Uhr, 23.09.2011

Hallo zusammen,

ich habe mal wieder eine Aufgabe, bei der ich mir nicht ganz sicher bin, wie die Vorgehensweise ist.

Gegeben sind die Geradenschar

g_{a} : x = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} a \\ a^{2} \\ 2 \end{matrix}), a \in ℝ,

und die Ebene

E : 2 x 1 + x 2 - 4 x 3 = 7

a)

Bestimmen Sie den Parameter a so, dass die zugehörigen Geraden

g_{a}

parallel zur Ebene

E

sind. Welchen Winkel schließen diese beiden Geraden ein?

b)

Zeigen Sie, dass keine Gerade der Geradenschar

g_{a}

orthogonal zu

E

ist.

c)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene

E_{2},

die die Geraden

g_{- 1}

und

g_{1}

enthält

Meine Ansätze:

a)

Hierbei habe ich erstmal den Normalen Vektor der Ebene abgelesen.. in diesem fall

n = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{matrix}) . .

.
Bedinung: Damit die Gerade parallel zur Ebene ist, müssen der Richtungsvektor und der Normalenvektor orthogonal zueinander sein..

gut demnach muss

(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a \\ a^{2} \\ 2 \end{matrix}) = 0

das wäre also:

2 a + a^{2} - 8 = 0

darf ich aus der Gleichung nun mein a bestimmen? also wäre mein a dann

a = 2

und

a = - 2

. .

. wobei wenn ich versuche die Gleichung zu kontrollieren, würde das Ergebnis der Multiplikation der beiden Vektoren nur bei

a = 2

null ergeben

wie ich den winkel berechne weiß ich nicht..

bei

b)

fehlt mir der Ansatz

bei

c)

würde ich als Stützvektor den Normalen Vektor der Ebene nehmen und als Spannvektor die Richtungsvektoren der Geraden.

Danke schon einmal für Eure Hilfe :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

michael777 aktiv_icon

21:53 Uhr, 23.09.2011

du hast selbst erkannt, dass

a = - 2

keine Lösung sein kann

beim Lösen der quadratischen Gleichung ist dir ein Fehler passiert

meine zweite Lösung ist

a_{2} = - 4

rechne nochmal nach, der Ansatz war ja richtig

fehlt vor dem Richtungsvektor der Geraden nicht ein Parameter ?

michael777 aktiv_icon

21:58 Uhr, 23.09.2011

a)

Winkel zwischen den beiden Geraden
mit den Lösungen

a = 2

und

a = - 4

haben die beiden Geraden folgende Richtungsvektoren:

(\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} - 4 \\ 16 \\ 2 \end{matrix})

der Winkel wird mit dem Skalarprodukt berechnet:

cos α = \frac{| (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 16 \\ 2 \end{matrix}) |}{\sqrt{4 + 16 + 4} \cdot \sqrt{16 + 256 + 4}} = \frac{60}{\sqrt{6624}}

α =

42,5°

michael777 aktiv_icon

22:02 Uhr, 23.09.2011

b)

zu zeigen ist, dass kein Richtungsvektor der Geraden ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene ist

(\begin{matrix} a \\ a^{2} \\ 2 \end{matrix}) = t \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{matrix})

aus der dritten Zeile erhält man

t = - \frac{1}{2}

damit wäre die zweite Zeile:

a^{2} = - \frac{1}{2},

hierfür gibt es für

a \in ℝ

keine Lösung

somit ist keine Gerade der Geradenschar senkrecht zur Ebene (parallel zum Normalenvektor der Ebenen)

michael777 aktiv_icon

22:09 Uhr, 23.09.2011

c)

der Ortsvektor des Punktes

(1 | 0 | 3)

als Stützvektor der Ebenen

E_{2}

die beiden Richtungsvektoren der Geraden als Spannvektoren der Ebene

E_{2} :

E_{2} : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Sonja92 aktiv_icon

22:13 Uhr, 23.09.2011

Vielen Dank, für deine schnelle und Hilfreiche Antwort...

für den Parameter a habe ich nun auch 2 und

- 4

heraus... an die anderen Aufgaben muss ich mich jetzt auch nochmal setzen...

Ja in der Geradengleichung scheint der der Parameter vor dem Richtungsvektor zu fehlen.., habe die Aufgabe genauso abgeschrieben, wie sie in meine Buch steht und da fehlt der Paramter :-)

Sonja92 aktiv_icon

22:22 Uhr, 23.09.2011

bei der Winkelberechnung:

Wie bist du auf die Werte unter der Wurzel gekommen?

michael777 aktiv_icon

22:25 Uhr, 23.09.2011

das sind die Längen (Beträge) der jeweiligen Vektoren

| (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) | = \sqrt{2^{2} + 4^{2} + 2^{2}}

Sonja92 aktiv_icon

22:30 Uhr, 23.09.2011

ja, klar, logisch... danke :-)

Sonja92 aktiv_icon

22:53 Uhr, 23.09.2011

Gut, nochmal Danke, die Fragen dazu und noch weitere haben sich damit geklärt :-)

Dein Fazit: Hast mir gut geholfen ;-).. Full House ;-)

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