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Geradenschar Raum/Ebene

Schüler Gymnasium,

Tags: Ebene, Geradenschar, Raum

hmeyr aktiv_icon

15:11 Uhr, 26.02.2013

Tachen Leute,
leider habe ich eine Matheaufgabe vor mir, die ich nicht nachvollziehen kann:

Bei einem Grubenunglück wird versucht, die im Schacht AB und den Hohlräumen H_1 und H_2 verschütteten Bergleute durch sechs vom Turm T(4/6/0) ausgehenden Rettungsbohrungen g_a zu erreichen:
Daten A(8/2/-2); B (15/16/-9); H_1 (22/6/-14); H_2 (12/16/-4)

g_a:x= (4/6/0)+r(13-a/a-4/a-11)
a=0,2,4,6,8,10

a) Wird der Schacht AB von einer der Bohrungen getroffen wenn ja wo?
b) Werden die Hohlräume H_1 und H_2 gefunden?
c) Führt eine der Bohrungen senkrecht nach unten?

zu a) habe ich eine Lösung das wäre a=6
zu b) dachte ich, dass ich die Punkte einfach mit der Geradenschar gleichsetzen muss sodass dann steht:
(22/6/-14)= (4/6/0)+r(13-a/a-4/a-11)
leider kommt dann irgentwas nach dem gauschischen verfahren mit

18=-17ra
00=-4r+ra
-56=-7ra

--> a=-18/17r
--> a=8/r
raus. da kann ich mir echt nichts darunter vorstellen.... -.-

Ist das ganze nachvollziehbar?

Danke im voraus! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Lagebeziehung Ebene - Ebene

hmeyr aktiv_icon

15:16 Uhr, 26.02.2013

Bild, kurze skizze

BeeGee aktiv_icon

15:34 Uhr, 26.02.2013

Hallo!

a) a = 6

ist korrekt!

b)

4 + r \cdot (13 - a) = 22

6 + r \cdot (a - 4) = 6

0 + r \cdot (a - 11) = - 14

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

r \cdot (13 - a) = 18

r \cdot (a - 4) = 0

r \cdot (a - 11) = - 14

Die zweite Gleichung wird 0 für

r = 0

(nutzlos für uns) oder

a = 4

. Damit bekommst Du aus der ersten Gleichung

r = 2

. Dies in die dritte Gl. eingesetzt ergibt eine wahre Aussage

\to H_{1}

wird getroffen.

BeeGee aktiv_icon

15:38 Uhr, 26.02.2013

Zur Kontrolle:

H_{2}

würde getroffen für

a = 9

und

r = 2

. Da

a = 9

aber nicht im zulässigen Wertebereich liegt, wird

H_{2}

verpasst.

Edddi aktiv_icon

15:41 Uhr, 26.02.2013

bei

a)

komm' ich auf 2 über:

Schacht

:= \bar{A B} = (\begin{matrix} 8 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 14 \\ - 5 \end{matrix})

mit

0 < λ < 1

Bohrungen

:= (\begin{matrix} 4 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 13 - a \\ a - 4 \\ a - 11 \end{matrix})

Gleichsetzung liefert:

(\begin{matrix} 8 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 14 \\ - 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 13 - a \\ a - 4 \\ a - 11 \end{matrix})

Dies ergibt GLS mit

λ, r

und a

Meine Lösungen:

λ = \frac{3}{4}, r = \frac{7}{4}

und

a = 2

...meine Probe passt nicht, da hab' ich wohl 'nen Fehler drin..

;-)

BeeGee aktiv_icon

15:50 Uhr, 26.02.2013

@Edddi:

Mit dem Richtungsvektor Deines Schachts bin ich nicht einverstanden:

\vec{x} = (\begin{matrix} 8 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 14 \\ - 7 \end{matrix}) (0 \leq λ \leq 1)

a = 6

r = 1

λ = \frac{3}{7}

hmeyr aktiv_icon

15:51 Uhr, 26.02.2013

Hi aber es heißt ja

AB= a+ r(b-a) und das wären ja dann

AB= (8/2/-2)+ r(15-8/16-2/-9-(-2))
AB= (8/2/-2)+ r(7/14/-7) und nicht -5 wie bei dir?

und weißt du evlt c?

hmeyr aktiv_icon

15:54 Uhr, 26.02.2013

zu deinen lösungen habe ich auch das raus durch unterstütung ;-)

a=6
r= 1
s= 3/7

BeeGee aktiv_icon

15:54 Uhr, 26.02.2013

c :

Dann müsste der Richtungsvektor der Bohrung parallel zu

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

verlaufen.

(\begin{matrix} 13 - a \\ a - 4 \\ a - 11 \end{matrix}) = k \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

An den ersten beiden Komponenten kann man schon erkennen, dass es kein a gibt, das diese Gleichung erfüllt. Also geht keine der Bohrungen genau senkrecht nach unten.

hmeyr aktiv_icon

16:00 Uhr, 26.02.2013

ok. Vielen lieben Dank euch beiden :-)! Habt mir den Tag gerettet!!!
Danke:-)!!

MissJeffata aktiv_icon

16:08 Uhr, 21.03.2013

Ich habe genau diese Aufgabe auf und weiß überhaupt nicht wie man auf

a = 6

kommt.
Ich habe den Vektor AB

= (8 | 2 | - 2) + (7 | 14 | - 7),

dann setze ich ihn mit der Gleichung ga gleich:

\to (8 | 2 | - 2) + r \cdot (7 | 14 | - 7) = (4 | 6 | 0) + t \cdot (13 - a | a - 4 | a - 11)

Und dann? Ich hab irgendwie keine Ahnung wie man das jetzt so auflöst, dass man die Variablen rausbekommt.
Wir haben eigentlich dann 3 Nebenrechnungen gemacht und dann eingesetzt, aber irgendwie stehe ich total auf dem Schlauch.
Soll ich jetzt für a jeweils die gegebenen Werte einsetzen?

BeeGee aktiv_icon

16:41 Uhr, 21.03.2013

Hallo!

Du hast 3 Gleichungen und 3 Unbekannte, also kannst Du das LGS ganz normal lösen. Etwas sortiert (Du hast gegenüber oben

r

und

t

vertauscht, macht aber nichts):

13 t -

- 7 r = 4

- 4 t +

- 14 r = - 4

- 11 t +

+ 7 r = - 2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

(I)

+

(II):

9 t - 21 r = 0

(I)

+

(III):

2 t = 2 \Rightarrow t = 1

\Rightarrow r = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}

Ergebnisse in

(I) :

\Rightarrow 13 \cdot 1 - a \cdot 1 - 7 \cdot \frac{3}{7} = 4

10 - a = 4 \Rightarrow a = 6

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