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Gerichtete Kante

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15:02 Uhr, 23.03.2019

Hi,

in Wiki steht folgender Satz (siehe Bild).

Dabei bedeutet doch:

E \subseteq V \times V

dass

E

eine Teilmenge der Menge des kartesischen Produkts aus den Knoten

V

und

V

ist.

Warum muss ich das in Form einer Teilmenge ausdrücken. Ich könnte doch einfach schreiben:

E \in V \times V,

oder nicht?
Liegt es daran, dass mit

E

nicht ein einzelnes Element, sondern eine Menge gemeint ist?

D . h

. ich müssste schreiben

E (i) \in V \times V

?

de.wikipedia.org/wiki/Tupel

EDIT: Irgendwie lässt sich das Bild nicht anhängen, daher hier schriftlich:

Ein gerichteter Graph ist ein Paar

(V, E)

bestehend aus einer Menge von Knoten

V

und einer Menge gerichteter Kanten

E

⊆

V

× V.

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16:56 Uhr, 23.03.2019

Eine Kante kannst du ja nur dann zuordnen wenn du sagst zwischen welchen der Eckpunkt/ Knoten sie liegt. Daher brauchst du ein Paar von zwei Eckpunkten un dieses zu beschreiben (daher Kreuzprodukt). Das heißt die Menge aller Kanten ist eine Teilmenge des Kreuzprodukts der Knoten, wenn jeder Knoten mit jedem anderen verbunden ist müssen demnach die Mengen gleich sein. Ich hoffe das hilft :-)

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19:17 Uhr, 23.03.2019

Hi, danke für deine Antwort.

D . h

. der Unterschied zwischen:

1.

E \subseteq V \times V

und
2.

E = V \times V

und
3.

E \in V \times V

ist.

1. Sagt aus, dass die Menge

E

eine Teilmenge der Menge des kartesischen Produktes

V \times V

ist.

D . h

E

enthält nicht alle Kanten die prinzipiel möglich wäre

(\in

dem ich alle Knoten miteinader verbinde). Sondern nur einen Teil der Kanten. Ein Beispiel wäre ein Quadrat bei dem lediglich die benachbarten Ecken miteinander verbunden sind, aber

z . B

. die Ecken nicht diagonal verbunden sind.

2. Würde bedeuten, dass die Menge

E

der Menge des kartesischen Produktes

V \times V

entsricht.

D . h

. sie enthält alle Kanten die entstehen wenn man alle Punkte miteinander verbindet.

3. Würde bedeuten, dass

E

ein Element der Menge

V \times V

ist.

D . h

E

wäre selber keine Menge.

Wäre das so richtig? Bin gerade etwas verwirrt von der unterschiedlichen Schreibweise :-)

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20:38 Uhr, 23.03.2019

Ja fast ich versteh was du meinst, damit 1) aber genau deiner Behauptung entspricht müsste es eine echte Teilmenge sein d. h. nicht

\subseteq

sonder

\subset

also "nur" Formalitäten
2) stimmt
3) würde man nicht so hinschreiben, da wir davor E als Menge definieren aber du könntest sagen

e := (e_{1}, e_{2}) \in E

und weil

E \subseteq V \times V

gilt

e \in V \times V

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21:40 Uhr, 23.03.2019

Hi, Danke für deine Antwort.

Zu 3 hätte ich noch eine Frage:
Du sagst ja

e

soll gleich dem Element

(e_{1}, e_{2})

sein wobei dieses ein Element aus der Menge

E

sein soll. Wenn nun aber

E

nur eine Teilmenge von

V \times V

ist, dann muss doch nicht unbedingt

e \in V \times V

sein (da die Menge

V \times V

ja größer/gleich der Menge

E

ist). Oder habe ich da was falsch verstanden? :-)

Zudem: Wenn wir

E

nicht als Menge definiert hätten, würde dann

E \in V \times V

der oberen Aussage unter 3. entsprechen?

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13:06 Uhr, 24.03.2019

Also zu 3) vielleicht hab ich mich unklar ausgedrückt, aber deine Frage lässt sich unmittelbar aus der Definition ableiten Sei

E \subseteq V \times V := \forall e \in E : e \in V \times V

wenn das nicht gilt, kann E keine Teilmenge sein

und hierbei gehts um Formalitäten, Großbuchstaben beschreiben meist Mengen, so wie n meist eine natürliche Zahl beschreibt. Du kannst auch die natütlichen Zahlen als Kevin definieren,

K e v i n

:= ℕ

es stellt sich nur die Frage ist das sinnvoll.

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14:23 Uhr, 24.03.2019

Hi,

ich fürchte, dass ich

"Also zu

3)

vielleicht hab ich mich unklar ausgedrückt, aber deine Frage lässt sich unmittelbar aus der Definition ableiten Sei E⊆V×V:=∀e∈E:e∈V×V wenn das nicht gilt, kann

E

keine Teilmenge sein"

noch nicht ganz verstanden habe.

Ich stelle mit das am Beispiel einer menge so vor:

M 1 = {1,2,3}

M 2 = {4,5,6}

M 1 \times M 2 = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6)}

Wenn nun

M 3 \subseteq M 1 \times M 2,

so kann

z . B

M 3

sein:

M 3 = {(1,4)}

oder

M 3 = {(1,4), (1,5), (1,6)}

oder auch

M 3 = M 1 \times M 2

Nun besitzt aber doch nicht jede mögliche Menge

M 3

alle Elemente von

M 1 \times M 2

.
Wenn nun gilt:

e \in M 3,

so folgt daraus dann nicht unbedingt

e \in M 1 \times M 2,

da die Mächtigkeit von

| M 3 | \leq | M 1 \times M 2 |

ist. Oder?

e:=(e1,e2)∈E und weil E⊆V×V gilt e∈V×V sagt doch aber genau das, oder:

e

ist aus der Menge E. Da

E

Teilmenge von

V \times V

ist, ist

e

aus der Menge

V \times V

.
ABER: Da

| E | \leq | V \times V |

kann man nicht mit sicherheit sagen, dass "Da

E

Teilmenge von

V \times V

ist, ist

e

aus der Menge

V \times

V". Das könnte man doch nur, wenn gelten würde

V \times V

ist Teilmenge von E.

ACHSO, ich glaube ich habe meinen Denkfehler gefunden:
Wenn

E

Teilmenge von

V \times V

ist, dann sind alle Elemente die in

E

enthalten sind auch in

V \times V

enthalten (plus noch weitere).

D . h

. wenn

e

aus der Menge

E

ist und die Menge

E

Teilmenge von

V \times V

ist, ist das Element

e

aus der Menge

E

auch sicher in der Menge

V \times v

enthalten.

Mein Denkfehler war, dass

e \in V \times V

übersetzt habe mit: "e kann jedes Element der Menge

V \times V

sein". Das wäre aber nicht erfüllt, wenn

E

eine echte Teilmenge von

V \times V

wäre. Richtig ist aber: "e ist sicher in der Menge

V \times V

enthalten", da alle Elemente von

E

inder Menge

V \times V

enthalten sind.

Ich hoffe ich habe dich jetzt nicht auch noch verwirrt. :-)
Vielen Dank für deine Unterstützung!!!

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14:34 Uhr, 24.03.2019

Ende

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17:06 Uhr, 24.03.2019

Ja genau, jetzt hast dus richtig verstanden. Solltest du mit der Mengenlehre Probleme haben helfen Venn-Diagramme immer sehr, als Tipp für die Zukunft.

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