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Geringster Abstand zwischen Punkt und Parabel

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Abstand, minimaler, Parabel, Punkt

ihatemath aktiv_icon

16:59 Uhr, 10.12.2008

Hi, kann mir jemand eine detailierte Lösung für die Frage: Was ist der geringste Abstand zwischen dem Punkt

0,0

und der Parabel

- x^{2} + 2,

und welcher Punkt ist dies? vorrechnen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade
Ebene Geometrie - Einführung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
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Miraculix aktiv_icon

20:14 Uhr, 10.12.2008

Also, im Prinzip geht es darum den minimalen Abstand zwischen zwei Punkten zu berechnen, wobei der eine Punkt fix ist

P_{1} (0 ∣ 0)

und der zweite Punkt auf der gegebenen Funktion wandert.
Daher hat der zweite Punkt die Koordinaten

P_{2} (x ∣ - x^{2} + 2)

.

Um nun den x-Wert zu bestimmen, an welchem der Abstand minimal ist, musst du eine Funktion aufstellen, die dir den Abstand zwischen den Punkten berechnet. Da sich der Abstand zwischen zwei Punkten mit dieser Formel

\sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}

berechnen lässt, kann man damit nun die Abstandsfunktion aufstellen:

d^{2} (x) = (x - 0)^{2} + (- x^{2} + 2 - 0)^{2} = \underline{x^{4} - 3 x^{2} + 4}

(wenn der Abstand minimal ist, ist auch das Quadrat des Abstands minimal, so vermeidet man die Wurzel!)

Jetzt muss du diese Funktion nur noch Ableiten und den Minimalwert ausrechnen...
Als Ergebnis solltest du