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Gesamtumsatzfunktion

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Finanzmathematik, Gesamtumsatzfunktion, partieller Grenzumsatz

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19:34 Uhr, 16.04.2017

Hallo,

kann mir jemand sagen wie ich hier vorgehen muss?

gegeben sind folgende Nachfragefunktionen

x_{1} (p_{1}; p_{2}) = 10 - p_{1} + 2 p_{2}

und

x_{2} (p_{1}; p_{2}) = 8 + 2 p_{1} - 6 p_{2}

a)

Jetzt soll ich die preisabhängige Umsatzfunktion bilden.
Meine Idee: Beide Nachfragefunktionen mit

x

multiplizieren um 2 Umsatzfunktionen zu erhalten und diese dann addieren???

b)

Geben sie den partiellen Grenzumsatz bezüglich

p_{1}

and der Stelle

p_{1} = 28

und

p_{2} = 10

c)

Berechnen Sie das Umsatzmaximum (Stelle und Wert mit notwendiger und hinreichende Bedingung)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Enano

14:27 Uhr, 17.04.2017

"Beide Nachfragefunktionen mit

x

multiplizieren"

Wenn du die inverse Nachfragefunktion in der Form

p (x) = . .

. hättest, wäre

U (x) = p (x) \cdot x

.
Du hast aber die Nachfragefunktion

x (p) = . .

. und solltst die preisabhängige Umsatzfunktion bilden, also

U (p) = x (p) \cdot p

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14:39 Uhr, 17.04.2017

Multipliziere ich

x_{1}

und

x_{2}

dann jeweils mit

p_{1}

und

p_{2}

Enano

15:17 Uhr, 17.04.2017

x_{1}

ist doch die Menge eines Produktes, dass bei den gegebenen Preisen

p_{1}

und

p_{2}

nachgefragt werden würde,

d . h

. für dieses Produkt wäre der Nachfrager bereit, den Preis

p_{1}

zu bezahlen, also wäre doch der Umsatz für dieses Produkt

U_{1} = x_{1} \cdot p_{1}

.
Analog wäre es bei

U_{2}

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16:30 Uhr, 17.04.2017

etwa so?

x_{1} = 10 - p_{1} + 2 p_{2}

umgestellt auf

p_{1}

p_{1} = 10 + 2 p_{2} - x_{1}

U_{1} = x_{1} \cdot p_{1}

U_{1} = 10 - p_{1} + 2 p_{2} \cdot (10 + 2 p_{2} - x 1)

U_{1} = 10 - p_{1} + 2 p_{2} \cdot (10 + 2 p_{2} - (10 - p_{1} + 2 p_{2}))

U_{1} = 10 - p_{1} + 2 p_{1} p_{2}

oder so:

U_{1} = x_{1} \cdot p_{1}

U_{1} = (10 - p_{1} + 2 p_{2}) \cdot p_{1}

U_{1} = 10 p_{1} - p_{1}^{2} + 2 p_{1} p_{2}

Enano

17:23 Uhr, 17.04.2017

Wer möglichst umständlich rechnen möchte, wählt die erste Alternative,
wer aber das ökonomische Prinzip bevorzugt, wählt die zweite.
Müsste beides zum gleichen Ergebnis führen.
Bei deiner ersten Rechnung müsstest du

10 - p_{1} + 2 p_{2}

in Klammern setzen und jeden Term in der einen Klammer mit jedem Term in der anderen multiplizieren.

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18:01 Uhr, 17.04.2017

Okay bekomme dann für

U_{1} = 10 p_{1} - p_{1}^{2} - 2 p_{1} p_{2}

das gleiche mache ich dann für

U_{2}

und addiere

U_{1} + U_{2}

um mein

U_{G}

also meine Gesamtumsatzfunktion zu erhalten?

Enano

19:16 Uhr, 17.04.2017

Ja, das ist richtig.
Hast du denn hier den vollständigen Aufgabentext wiedergegeben oder

z . B

.
Erklärungen zu den Nachfragefunktionen weg gelassen oder bei a)-c)gekürzt?
In dem Fall bitte den Original-Aufgabentext einstellen.

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20:17 Uhr, 17.04.2017

Habe die vollständige Aufgabenstellung angegeben.

Habe jetzt folgendes getan:

a)

U_{2} = x_{2} \cdot p_{2}

U_{2} = 8 p_{2} + 2 p_{1} p_{2} - 6 p_{2}^{2}

U_{G} = U_{1} + U_{2}

U_{G} = 10 p_{1} - p_{1}^{2} + 4 p_{1} p_{2} + 8 p_{2} - 6 p_{2}^{2}

kann man eigentlich auch bei

U_{2}

wieder mit

p_{1}

multiplizieren?

b)

U_{G} = 10 p_{1} - p_{1}^{2} + 4 p_{1} p_{2} + 8 p_{2} - 6 p_{2}^{2}

abgeleitet nach

p_{1}

U_{p 1} = 10 - 2 p_{1} + 4 p_{2}

p_{1} = 28

und

p_{2} = 10

eingesetzt

U_{p 1} = - 6

beträgt mein partieller Grenzumsatz

- 6

? Falls ja, was soll man sich darunter vorstellen?

Enano

11:31 Uhr, 18.04.2017

"kann man eigentlich auch bei

U_{2}

wieder mit

p_{1}

multiplizieren?"

Das habe ich nicht verstanden. Meinst du

U_{2} \cdot p_{1}

?
Und wenn ja, welchen Sinn sollte das haben?

"Falls ja, was soll man sich darunter vorstellen?"

Mathematisch gesehen hast du die Steigung des Funktionsgraphen

U_{G} (p_{1}) = - p_{1}^{2} + 50 p_{1} - 520

an der Stelle

p_{1} = 28

ermittelt,
wenn

p_{2} = 10

ist.
Die Steigung ist also

- 6,

was bedeuten würde, dass der Gesamtumsatz um 6GE sinken würde, wenn der Preis

p_{1}

um 1GE erhöht werden würde.
Tatsächlich würde er aber von 96GE auf 89GE, also um 7GE sinken.
Die Differenz kommt daher, weil der Graph

U_{G} (p_{1})

keine Gerade ist, sondern eine Parabel.
Üblicherweise ist der Grenzumsatz bzw. Grenzerlös so oder ähnlich definiert:
"Veränderung des Umsatzes

U = p

•

x

(Preis

p

• Menge

x)

eines Anbieters bei einer infinitesimal kleinen Änderung der von ihm abgesetzten Menge bzw. einer Mengeneinheit."

D . h

. es wird nach der Menge abgeleitet.
Hier sollte aber wohl analog dazu nicht nach der Menge

x,

sondern nach dem Preis

p_{1}

abgeleitet werden, so wie du es auch getan hast.

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20:06 Uhr, 19.04.2017

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung.

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