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Geschlossene Formel bestimmen

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Tags: geschlossene Formel, lineare Rekursion, Matrix

MaaaathStuuudent aktiv_icon

18:03 Uhr, 09.10.2020

Hi,

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Bestimmen Sie zu

a_{n} + 1 = 7 a_{n} - 12 a_{n} - 1

mit

a_{0} = 1

und

a_{1} = 0

und n≥1 die geschlossene Formel.

Allgemein kenn ich die Vorgehensweise:

1.Matrix aufstellen

2.Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen.

3 . S \cdot

\cdot S - 1

berechnen.

Meine Frage ist jedoch wie ich die Matrix aufstelle?

Habe daran gedacht einfach in die Formel einzusetzen also

A = ((1, 0,), (0, 12))

Das kann es aber leider nicht sein, da ich dann auf ein falsches Ergebnis komme.

Danke für jede Hilfe!:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

DrBoogie aktiv_icon

18:38 Uhr, 09.10.2020

Ich würde zuerst

a_{n + 1} = 7 a_{n} - 12 a_{n - 1}

mit dem Ansatz

a_{n} = b^{n}

lösen.
Das ergibt

b^{2} = 7 b - 12

und

b = 3

oder

b = 4

. Damit ist die allgemeine Lösung

α 3^{n} + β 4^{n}

.

Jetzt braucht man eine partikuläre Lösung für

a_{n + 1} = 7 a_{n} - 12 a_{n - 1} - 1

. Das geht mit dem Einsatz

a_{n} = C

(Konstante). Daraus wird

C = - 1 / 6

.
Also ist die allgemeine Lösung

a_{n} = α 3^{n} + β 4^{n} - 1 / 6

. Nun muss noch

a_{0} = 1

und

a_{1} = 0

gelten. Das führt zu

1 = α + β - 1 / 6

und

0 = 3 α + 4 β - 1 / 6

. Daraus ist leicht

α

und

β

zu bestimmen.

Zu der Methodik:
http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node196.html

ermanus aktiv_icon

18:46 Uhr, 09.10.2020

Hallo,
deine Matrix muss

(\begin{array}{cc} a_{n + 1} \\ a_{n} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 7 & - 12 \\ ? & ? \end{array}) (\begin{array}{cc} a_{n} \\ a_{n - 1} \end{array})

genügen.
Bestimme die beiden Fragezeichen.
Gruß ermanus

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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