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Geschoss, Steighöhe, Flugweite, und keine Ahnung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Abschusswinkel, Anfangsgeschwindigkeit, Freier Fall, Geschoß, Steighöhe, Strecke, Wurfweite, Zeit

Lissy-L aktiv_icon

18:45 Uhr, 09.06.2009

Die folgende Aufgabe gibt mir auch nur noch Rätsel auf:

Ein Geschoß wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 abgefeuert. Bei welchem Abschusswinkel alpha wird:
- die Steighöhe
- die Wurfweite
maximal?
Für Gegenstände im freien Fall gelten die folgenden Formeln:

v = g * t ; s = g/2 * t² wobei

v die Geschwindigkeit
t für die Zeit
s für den zurückgelegten Weg und
g ~ 9,81 für die Beschleunigung steht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

02:50 Uhr, 11.06.2009

Schau mal was Du unter Wurfparabel / Ballistik so alles in wiki und google findest.

Ähnliche Aufgaben sind hier auch schon erklärt worden.

Es ist immer die gleiche Formel, die nur entsprechend umgestellt werden muss, jenachdem was gegeben/gesucht ist.

Lissy-L aktiv_icon

15:01 Uhr, 12.06.2009

Ich weiß, dass für ideelle Bedingungen der Abschuß/-wurfwinkel 45° ist, um die maximale Wurfweite zu erhalten. Mir ist jedoch nicht klar, wie ich das in einem mathematischen Zusammenhang anhand von Formeln beweise!!!

Bei der maximalen Steighöhe komme ich zu gar keiner Lösung!!!

Leider bieten sich da auch keine Lösungen in oben beschriebenen Recherchemöglichkeiten!!!

Edddi aktiv_icon

12:04 Uhr, 25.06.2009

...eigentlich ganz einfach...zerlege mittels

α

die Abschussgeschwindigkeit in ihre vertikale und horizontale Geschwindigkeitskomonenten.

Damit wird offensichtlich, das die maximale Flughöhe nur dann erreicht wird, wenn die vertikale Komponente maximal ist. Denn die Flughöhe errechnet sich aus:

E_{K} = E_{P}

und

\frac{m}{2} \cdot v_{v}^{2} = m \cdot g \cdot h

und somit:

\frac{1}{2} \cdot v_{v}^{2} = g \cdot h

und

h = \frac{v_{v}^{2}}{2 \cdot g}

hier siehst du es formell.

Beim 2. Teil ist's etwas anders. Hier ist die Weite abhängig von der horizontalen Geschw.-komponente ALS AUCH von der vertikalen (da je höher der Flug, desto länger dauert er...und desto weiter fliegt er mit seiner horizontalen Geschwindigkeit)

...Extremwertberechnung...

Fakt ist, das die Weite sowohl für

α,

als auch für

(90 - α)

identisch ist.

Da es nur ein Extrema (Parabel!) gibt, und für

α = 0

und 90° die Weie offensichtlich Null ist, kann das Extrema also nur in der Mitte liegen (Scheitelpunkt)

...auf geht's

;-)

Lissy-L aktiv_icon

13:36 Uhr, 25.06.2009

Ok Danke schonmal...

Probleme habe ich leider immernoch damit. Die y-Komponente ist:

ys

= h

(also: v²

/ 2 g) \cdot

sin²

(α),

richtig?

α

kann maximal 90° sein, richtig?

wie komme ich ohne ys dann an alpha???

Ich bin total verballert...

Die Wurfweite errechnet sich aus:

s =

v²/g

\cdot sin (2 α)

also ist

α =

(arcsin (s/(v²/g))/2

und auch hier mit

α (max) =

90° der optimale Winkel 45°???

Oder schnall ich Deinen Ansatz nicht

Edddi aktiv_icon

15:22 Uhr, 25.06.2009

Weite

x = v_{h} \cdot t

Wurfhöhe

h = \frac{v_{v}^{2}}{2 \cdot g}

(aus

m \cdot g \cdot h = \frac{m}{2} \cdot v^{2})

aus

s = \frac{g}{2} \cdot t^{2}

(Formel freier Fall) stell ich nach

t

um, um die Fallzeit (oder Steigezeit, beides identisch) zu ermitteln:

t = \sqrt{2 \cdot \frac{s}{g}}

mit

s

als Wurfhöhe

h

bekomm' ich dann:

t = \sqrt{\frac{2 \cdot v_{v}^{2}}{2 \cdot g^{2}}} = \frac{v_{v}}{g}

dies ist die Fallzeit...die Gesamtzeit (steigen und fallen) ist demnach doppelt so groß.

t_{G} = 2 \cdot \frac{v_{V}}{g}

Diese Zeit in obige Formel:

Weite

x = v_{h} \cdot t = v_{h} \cdot v_{v} \cdot (\frac{2}{g})

mit

v_{v} = v \cdot sin (α)

und

v_{h} = v \cdot cos (α)

ergibt sich die Weite in Abh.

d

. Winkels

α :

x = (\frac{2}{g}) \cdot v^{2} \cdot sin (α) \cdot cos (α)

. .

x

wird maximal für

x' (α) = 0

Also:

x' = (\frac{2}{g}) \cdot v^{2} \cdot [sin (α) \cdot cos (α)]'

x' = (\frac{2}{g}) \cdot v^{2} \cdot [{cos}^{2} (α) - {sin}^{2} (α)] = 0

[{cos}^{2} (α) - {sin}^{2} (α)] = 0

{cos}^{2} (α) = {sin}^{2} (α)

1 = \frac{{sin}^{2} (α)}{{cos}^{2} (α)} = {tan}^{2} (α)

1 = tan (α)

alpha=45°

;-)

Lissy-L aktiv_icon

18:29 Uhr, 25.06.2009

Ja Ergbenis ist das selbe... verstanden hatte ich wohl nichts!!! Prima Danke, so versteh sogar ich es dann!!!

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