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Geschwindigkeit v(deg), Zeit gesucht

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Geschwindigkeit, Integration, Zeit gesucht

kubusssss

14:49 Uhr, 26.06.2024

Hallo,
meine Frage hat teilweise etwas mit Physik zu tun. Im Rahmen meiner Bachelorthesis habe ich eine Drehscheibe. Diese dreht sich mit einer gewissen Geschwindigkeit

v (φ)

mit der Einheit deg/s.

Allgemein lässt sich das ganze so zusammenfassen: Fahre mit gleichmäßiger Beschleunigung

(a_{+} = 4 \frac{1}{s})

hoch, bis Maximalgeschwindigkeit

(72

deg/s) erreicht wird. Fahre anschließend ab 342° mit der Beschleunigung

(a_{- =} - 4 \frac{1}{s})

wieder runter bis die Drehscheibe letztendlich zum Stand kommt.

Mein Ziel ist es eine Funktion der Zeit zu erstellen, mit der ich herausfinden kann bei welcher Zeit der Winkel

φ

erreicht wird. Meine bisherige Herleitung sieht so aus:

Für

0 \leq φ \leq 18 :

ist

v (φ) = 4 φ

Für

18 < φ \leq 342

ist

v (φ) = 72

Für

342 < φ \leq 360 :

ist

v (φ) = 72 - 4 φ

Weil

v (φ) = \frac{d φ}{d t}

wäre dann

d t = \frac{d φ}{v (φ)}

und somit

T = \int \frac{1}{v (φ)} d φ

Hier ist aber auch schon mein Problem. Setzt man den ersten Bereich ein wäre das

T = \int_{0}^{18} \frac{1}{4 φ} d φ = {[\frac{1}{4} \cdot ln (φ)]}_{0}^{18} = \frac{1}{4} \cdot ln (18) - \frac{1}{4} \cdot ln (0)

durch das

ln (0)

wäre diese Gleichung nicht möglich und generell konvergiert der

ln ()

ja auch nicht gegen 0. Das selbe Problem ist auch bei 360°, da dort die Geschwindigkeit ebenfalls 0 wird. In der Praxis macht das absolut keinen Sinn, da je näher ich die, in dem Falle, untere Grenze an 0 setze, die Zeit ins Unendliche steigt. Wenn ich die Drehscheibe jedoch in der Praxis drehe dauert eine Umdrehung ca

6,5

Sekunden. Es muss ja irgendwie möglich sein davon zu mindest mit Annäherungen auf die Zeit zu kommen.
Vielen Dank für die Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

22:36 Uhr, 26.06.2024

Hallo
deine Aussagen stimmen nicht zusammen.
a=4deg/s^2 nicht deg/s
bis 72deg/s erreicht sind, das dauert 18s, in dieser Zeit hätte man einen Winkel von 2*dg/s^2*18^2s^2= 648° ereicht. Wenn man nur 342° erreichen will mit a=4°/s^2
dann hat man die Zeit 342°=2°/s^2*t^2 also

t = \sqrt{171) = 13, . . s}

also nur v=52,..°/s
Was gilt jetzt genau?
Was du da integrieren willst ist ein bissel grausig.bei konstantem vg ilt doch v=v(0)+a*t

φ = φ (0) + v (0) * t * a / 2 * t^{2}

was man schon auf der Schule lernt! mit (v(0) und \ph(0)=0 vereinfacht sich das.
Da mit deiner Darstellung etwas nicht stimmt korrigiere bitte deine Frage. a) v=72°/s erreichen oder 484° z. B. a wirklich konstant? usw.
Gruß ledum
Und BITTE wirklich mit den richtigen Einheiten arbeiten, sonst graus es Physikern.

Roman-22

23:12 Uhr, 26.06.2024

>

a=4deg/s^2 nicht deg/s
Nein, weder

4 \frac{d e g}{s^{2}}

noch

4 \frac{d e g}{s},

sondern, so wie vom Fragesteller angegeben,

4 \frac{1}{s}

. Diese 'Beschleunigung' ist die Ableitung der linear von

φ

abhängigen Geschwindigkeit nach dem überstrichenen Winkel

φ,

nicht nach der Zeit. Daher passt die Einheit so.
In der Anlaufphase erhöht sich also die Geschwindigkeit pro überstrichenem Winkelgrad um 4 °/s, bis nach 18° die

72

°/s erreicht sind und die Frage ist, wie lange das dauert. ;-)

Es stellt sich für mich allerdings die Frage, ob eine solche Bewegung/'Beschleunigung' physikalisch überhaupt möglich ist. Ich bezweifle, dass dieser lineare Zusammenhang zwischen Winkel und Winkelgeschwindigkeit wirklich realisierbar ist, wenn man

v (0 d e g) = 0 \frac{d e g}{s}

fordert.
Denn die Beschreibung führt ja auf die Differentialgleichung

\frac{d φ (t)}{d t} = \frac{1}{4 s} \cdot φ (t)

mit der Lösung

φ (t) = C_{1} \cdot e^{\frac{t}{4 s}}

und da wird die Anfangsbedingung

φ (0 s) = 0

nicht zu erzielen sein.
Löst man nach der Zeit

t

auf führt das auf

t (φ) = 4 s \cdot (ln φ + C_{2})

und auch hier wird sich

t (0 d e g) = 0 s

nicht machen lassen - das Problem hatte der Fragesteller ja bereits beschrieben.

kubusssss

01:41 Uhr, 27.06.2024

Die Drehscheibe wurde von dem Betreuer meiner Bachelorthesis gebaut und dieser hat mir die Angaben zur Verfügung gestellt damit ich damit weiterarbeiten kann. Ich habe ihn auch schon ein paar Mal darauf angesprochen, jedoch weiß er selber nicht wie das Problem zu lösen ist. Mir kommt das ganze auch etwas komisch vor, da bisher kein Ansatz wirklich Sinn ergeben hat. Leider ist es wichtig, dass ich irgendwie einen Weg finde die Zeit zu berechnen. Aber ich frage nochmal nach und forsche weiter. Trotzdem danke für die Antwort!

Roman-22

05:01 Uhr, 27.06.2024

Wie kommt es denn zu der Annahme, dass genau bei 18° die volle Geschwindigkeit erreicht wird?
Und wieso glaubt man an einen linearen Zusammenhang zwischen Winkel und Geschwindigkeit?
Wenn das "Anlaufen" der Scheibe anders modelliert wird dann wird sich die Sache auch berechnen lassen.

Beispielsweise eine Wurzelfunktion anstelle der linearen Funktion:

0 d e g \leq φ \leq 18 d e g :

v_{1} (φ) = 12 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{φ}{d e g}} \frac{d e g}{s} \Rightarrow t_{1} (φ) = \int_{0 d e g}^{φ} \frac{1}{v_{1} (θ)} d θ = \frac{1}{12} \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{φ}{d e g}} s

Die Startphase dauert daher

t_{1} (18 d e g) = 0,5 s

.

Im nächsten Abschnitt gilt:

18 d e g \leq φ \leq 342 d e g :

v_{2} (φ) = 72 \frac{d e g}{s} \Rightarrow t_{2} (φ) = t_{1} (18 d e g) + \int_{18 d e g}^{φ} \frac{1}{v_{2} (θ)} d θ = 0,5 s + \frac{φ - 18 d e g}{72 d e g} s

Das Ende der Drehung mit konstanter Geschwindigkeit ist nach

t_{2} (342 d e g) = 5 s

erreicht.

Für die Bremsphase gilt:

342 d e g \leq φ \leq 360 d e g :

v_{3} (φ) = 12 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{360 - \frac{φ}{d e g}} \frac{d e g}{s} \Rightarrow t_{3} (φ) = t_{2} (342 d e g) + \int_{342 d e g}^{φ} \frac{1}{v_{3} (θ)} d θ = 5 s + 0.5 s - \frac{1}{12} \cdot \sqrt{720 - 2 \cdot \frac{φ}{d e g}}

Das Ende der vollen Drehung ist also mit

t_{3} (360 d e g) = 5,5 s

erreicht.
Start und Bremsphase dauern jeweils eine halbe Sekunde, die Drehung mit konstanter Geschwindigkeit dazwischen dauert

4,5

Sekunden.

Natürlich kann man die Funktionen

t (φ)

auch nach

φ (t)

umstellen um den erreichten Winkel nach einer bestimmten Zeit zu erhalten.

Bei diesem Ansatz ist nicht der Zusammenhang zwischen Winkel und Geschwindigkeit linear (das geht nicht), dafür aber der Zusammenhang zwischen Zeit und Geschwindigkeit. Ich vermute einmal, dass das reale Modell auch so realisiert wurde.

Hier noch ein paar Diagramme im Anhang

Roman-22

16:48 Uhr, 27.06.2024

Eine letzte Anmerkung noch:

Es wird gefordert, dass

v (t = 0) = 0

sein soll, was bedeutet, dass die Ableitung

\frac{d φ}{d t} = v (t)

an der Stelle

t = 0

verschwinden soll.

Nun ist aber, wenn wir

v (φ)

betrachten,

\frac{d v (φ)}{d φ} = \frac{d v}{d t} \cdot \frac{d t}{d φ}

. Nach oben gesagten muss nun aber

\frac{d t}{d φ} \to \infty

für

t \to 0

oder

φ \to 0

.
Das bedeutet aber, dass, wenn man mit einer vom Winkel abhängigen Geschwindigkeitsfunktion modellieren möchte (warum eigentlich?), nur eine Funktion

v (φ)

erfolgversprechend ist, deren Anstieg in

φ = 0

gegen unendlich strebt, so wie das bei der vorhin vorgeschlagenen Wurzelfunktion eben der Fall ist, bei der von dir verwendeten linearen Funktion aber nicht.

Warum modellierst du aber nicht gleich von Start weg mit einer von der Zeit abhängigen Geschwindigkeitsfunktion?
Für den obigen Vorschlag wäre das in der Startphase

v (t) = 144 \frac{d e g}{s^{2}} \cdot t,

womit dann eben nach einer halben Sekunde

v (0,5 s) = 72 \frac{d e g}{s}

erreicht sind.
Für den Winkel

φ

gilt in der Startphase dann wie oben

φ (t) = 72 \frac{d e g}{s^{2}} \cdot t^{2},

natürlich mit

φ (0,5 s) = 18 d e g

ledum aktiv_icon

17:31 Uhr, 27.06.2024

anscheinend hast du doch die Drehscheibe? Warum nimmst du nicht mal z.B.

φ (t) u n d v (φ)

auf,dann ist leichter diskutieren, ist insbesondere sicher - wie Roman annimmt dass

v (φ = a * φ

ledum

Roman-22

17:38 Uhr, 27.06.2024

>

wie Roman annimmt dass v(φ=a∗φ
Nein! Genau das nehme ich NICHT an, sondern habe doch ausführlich erklärt, warum das nicht möglich ist!!??
Vielmehr habe ich die vage Vermutung geäußert, dass es sich um

v (t) = a \cdot t

handeln könnte.

Ob die zur Verfügung stehenden Messmethoden genau genug sind, um zwischen dem linearen Flankenverlauf im Geschwindikeits-Zeit-Diagramm und dem 'gebogenen" im Geschwindigkeits-Winkel-Diagramm zu unterscheiden, muss der Fragesteller beantworten, sofern er noch Interesse hat.

ledum aktiv_icon

19:49 Uhr, 27.06.2024

Hallo Roman
ich bin offensichtlich zu blöd. du schriebst der linear von φ abhängigen Geschwindigkeit das lese ich als

v (φ) = a * φ

mit

a = d v / d φ

was die Einheit 1/s erklärt. was ist jetzt mein Fehler?
ledum

Roman-22

20:02 Uhr, 27.06.2024

>

du schriebst der linear von φ abhängigen Geschwindigkeit
Ich weiß nicht worauf du dich da beziehst.
Wenn du meine Antwort auf deinen ersten Einwand, dass die Angaben des Fragestellers nicht stimmen würden, du da irgend welche dubiosen 484° ins Spiel brachtest und dem Fragesteller unterstellt hast, mit falschen Einheiten zu arbeiten, weil es dir als Physikerin sonst graust, da hatte ich dir nur erklärt, dass die Fragestellung ohnedies klar dargelegt war und mit den richtigen Einheiten hantiert wurde.

Wie du den nachfolgenden Ausführungen und weiteren Beiträgen entnehmen kannst, ist aber die vom Fragesteller ins Auge gefasste Modellierung des Anlaufprozesses mit einer vom Winkel linear abhängigen Geschwindigkeit nicht real möglich. Die Begründung dafür, die zugehörige DGL etc. hatte ich ja angegeben und als alternative Modellierung eine von der Zeit linear abhängige Geschwindigkeit vorgeschlagen, welche dann zu einer vermöge einer Wurzelfunktion von

φ

abhängigen Geschwindigkeit führt.
Aber wir drehen uns da ein wenig im Kreis, denn das alles hab ich ja schon ausführlich dargelegt. Vielleicht liest du dir den Thread nochmals durch, wenn du mehr Zeit dafür erübrigen kannst und machst bei weiteren Rückfragen klar, worauf du dich konkret beziehst.

kubusssss

05:11 Uhr, 28.06.2024

Danke für die ausführlichen Antworten.

Die Gehschwindigkeit ist vom Winkel abhängig weil das mein Betreuer mir so gegeben hat (Ich weiß auch nicht warum und es hat mich bisher echt Zeit gekostet das irgendwie zu verstehen). Aber mit den Ansätzen kann ich auf jeden Fall etwas anfangen und es macht für ich auch komplett Sinn. Das eine Umdrehung genau

5,5

Sekunden braucht sollte auch realistisch sein, da, als ich diese das letzte Mal grob gemessen habe, ca.

6 - 7

Sekunden herauskamen (Wenn man meine Reaktionszeit und die Verzögerung der Ansteuerung abzieht kann das sehr gut

5,5

Sekunden sein).

Wirklich tausend Dank für deine Hilfe Roman, jetzt kann ich auf jeden Fall mit etwas arbeiten!

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