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Gewichte interpolatorische Quadraturformel

Universität / Fachhochschule

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Tags: Numerik, Numerische Integration

Lamy99 aktiv_icon

15:10 Uhr, 15.02.2021

Hallo,
ich rechne paar Altklausuren in Numerik und komme bei einer Aufgabe nicht weiter:
Knoten:

x_{0} = - 1, x_{1} \in (- 1, 0), x_{2} = - x_{1}, x_{3} = 1

Bestimme zu dem Integral

\int_{- 1}^{1} f (x)

(a) die Gewichte der interpolatorischen Quadraturformel (Tipp: Symmetrie)
(b) ein

x_{0} \in (- 1, 0)

so, dass mindestens Exaktheitsgrad 4 erreicht wird

Idee:
(a) wegen der Symmetrie gilt:

w_{0} = w_{3}, w_{1} = w_{2}

, nach Definition muss die Quadraturformel exakt für Polynome von Grad 3 sein; Exaktheitsbedingungen:

\int_{- 1}^{1} 1 = 2 = w_{0} + w_{1} + w_{2} + w_{3} = 2 w_{0} + 2 w_{1} \overset{}{\Leftrightarrow} 1 = w_{0} + w_{1}

wegen Symmetrie.

\int_{- 1}^{1} x = 0 = x_{0} w_{0} + x_{1} w_{1} + x_{2} w_{2} + x_{3} w_{3} = 0

\int_{- 1}^{1} x^{2} = \frac{2}{3} = x_{0}^{2} w_{0} + x_{1}^{2} w_{1} + x_{2}^{2} w_{2} + x_{3}^{2} w_{3} = w_{0} + x_{1}^{2} w_{1} + x_{1}^{2} w_{1} + w_{3} = 2 w_{0} + 2 w_{1} x_{1}^{2} \overset{}{\Leftrightarrow} \frac{1}{3} = w_{0} + x_{1}^{2} w_{1}

wegen Symmetrie
und

0 = 0

Problem: ich habe 3 Unbekannte, aber nur 2 nichtlineare Gleichungssysteme (die 0=0 GLeichungen bringen mir ja nichts wegen der Symmetrie)... wie komme ich auf die Gewichte und wie mache ich danach (b)?

Danke für jede Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

18:04 Uhr, 15.02.2021

Warum nimmst du nicht noch das Integral über

x^{4}

?

Gruß pwm

Lamy99 aktiv_icon

18:31 Uhr, 15.02.2021

Ich habe ja

n = 3

und da es interpolatorisch ist, muss es ja nur für Polynome vom Grad maximal 3 exakt sein, deswegen bekomme ich ja nur 4 Gleichungen, von denen ich nur mit 2 was anfangen kann wegen der Symmetrie...

pwmeyer aktiv_icon

18:41 Uhr, 15.02.2021

Hallo,

ok, dann verstehe ich die Aufgabe so, dass Du im ersten Teil die Gewichte ausrechnen sollst, wobei

x_{1} = - x_{2}

eine beliebige aber fixe Stütstellen ist, so dass die Gewichte dann von

x_{1}

abhängen.

Im zweiten Teil sollst Du dann

x_{1}

so wählen, dass auch noch Polynome vom Grad 4 richtig integriert werden.

Gruß pwm

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