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Gewinnmaximale Preis-Mengen-Kombination?

Schüler Realschule, 9. Klassenstufe

Tags: Gewinnmaximale Preis-Mengen-Kombination

MarkioWeber15 aktiv_icon

21:41 Uhr, 20.04.2015

Könnte vielleicht jemand sagen wie man die

3.1

rechnet? Also ich würde beide Funktionen gleichsetzen... Dann?

Vielen Dank ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Roman-22

23:03 Uhr, 20.04.2015

> Könnte vielleicht jemand sagen wie man die 3.1 rechnet?
> Also ich würde beide Funktionen gleichsetzen...
Um

x \approx - 54, 63

Stück erhalten?

Ist dir klar, dass

x

in beiden Funktion die Stückzahl bedeutet?

Wenn du nun die Produktionskosten

K

für

x

Stück hast und den Preis

p

pro Stück, wie berechnest du dann den Umsatz und wie ermittelst du den Gewinn ?

Wenn du das herausgefunden hast, kannst du daran gehen, das Maximum der Gewinnfunktion zu suchen.

Gruß R

MarkioWeber15 aktiv_icon

13:47 Uhr, 21.04.2015

Vielen Dank ;-)

Also das

x

die Stückzahl bedeutet wusste ich.

Weiß nur nicht wie genau vorzugehen ist.

K = 1200 + 20 x

- - \to x = - 60

P = 80 - 0,5 x

x = 160

Nun?

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14:27 Uhr, 21.04.2015

G (x) = E (x) - K (x) = p (x) \cdot x - K (x)

G (x) = (80 - 0,5 x) \cdot x - (1200 + 20 x) = 80 x - 0,5 x^{2} - 1200 - 20 x

G (x) = - 0,5 x^{2} + 60 x - 1200

Scheitel von

G (x)

ermitteln:

- 0,5 \cdot (x^{2} - 120 x + 60^{2} - 60^{2}) - 1200

- 0,5 \cdot {(x - 60)}^{2} + 600

S (60 | 600)

Der maximale Gewinn liegt

x = 30

und beträgt

600

GE.

MarkioWeber15 aktiv_icon

15:34 Uhr, 21.04.2015

Vielen herzlichen Dank für die Antwort.

Leider kann ich dem Rechenweg überhaupt nicht folgen. Die Methode mit dem Scheitel habe ich ebenfalls noch nie gesehen.

Gibt es da vielleicht eine einfachere Lösung beziehungsweise könnte jemand die Schritte erklären?

Besten Dank!

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15:42 Uhr, 21.04.2015

G

ist die Gewinnfunktion.

E

ist der Erlös/Umsatz (Preis*Menge)
Gewinn = Erlös-Kosten

Die Gewinnfunktion ist eine Parabel, deren Scheitel ist das Maximum, das gesucht ist.
Man kann auch mit der 1. Ableitung von

G

arbeiten. Aber die kommt in der 9.Klasse Realschule wohl nicht vor,oder ?

MarkioWeber15 aktiv_icon

15:44 Uhr, 21.04.2015

Die Ableitung wäre für mich der leichtere Weg. Daher würde ich mich sehr über den Lösungsweg freuen.

Bin mittlerweile nicht mehr in der 9. Klasse. Das System hat dies wohl nicht geändert

: O

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15:55 Uhr, 21.04.2015

G' (x) = 2 \cdot (- 0,5) \cdot x^{1} = - x + 60

G' (x) = 0

- x + 60 = 0

x = 60

60 \in G (x)

einsetzen

- - \to G (60) = 600

MarkioWeber15 aktiv_icon

16:10 Uhr, 21.04.2015

Vielen Dank!

Ist echt schwer zu folgen, ohne Erklärung.

Du nimmst die Ableitung. Von welcher Funktion?

Danach setzt du die Ableitung

= 0

Bekommst dadurch den Extrempunkt der Funktion. Den gefundenen X-Wert setzt du dann wieder in die Funktion ein um den Y-Wert zu bekommen.

Frage mich nur wo du am Anfang die

G (x)

Funktion her hast...

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17:15 Uhr, 21.04.2015

Das hatte ich doch oben geschrieben:

G (x) = E (x) - K (x)

E (x)

ist die Erlösfunktion, die die Umsatzerlöse angibt. Um sie zu erhalten muss man den Preis

p

mit der Menge

x

multiplizieren. Der Preis

p

ist hier gegeben in Abhängigkeit von der Menge

x

als

p = 80 - x

. Diesen muss man mit der Menge

x

multiplizieren,wie ich es getan habe.Korrekt sollte es lauten:

p (x) = 80 - 0,5 x

.
Wenn du von

E (x)

die Kostenfunktion

K (x)

abziehst, landest du bei der Gewinnfunktion.
Das Maximum von

G (x)

gibt an, bei welcher Menge

x

der Gewinn maximal wird. Dazu setzt man die 1. Ableitung gleich Null und bestimmt den x-Wert, der die gleichung erfüllt.
Diesen Wert in die Gewinnfunktion eingesetzt, erhält man die Höhe des maximalen Gewinns.
Eigentlich ganz simpel,oder ? :-))

MarkioWeber15 aktiv_icon

18:28 Uhr, 21.04.2015

Vielen Dank! Jetzt habe ich das verstanden ;-)

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