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Gewinnmaximierung

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Tags: 3Inputs, Gewinn, Optimierung

anonymous

16:52 Uhr, 28.05.2018

Hallo,
Ich habe eine Aufgabe, in der der Gewinn bei der Produktion eines Gutes mit 3 Inputs maximiert werden soll.
Die Preise lauten

p (2) = 4, p (3) = 2, p (1) = 3

. Der Preis des Outputs ist

p (4) = 13

.
Der Zusammenhang der Produktion ist definiert durch

Q = {(x 1)}^{0,35} \cdot {(x 2)}^{0,35} \cdot {(x 3)}^{0,16}

. Nun soll der maximale Gewinn berechnet werden, inklusive Nachweis eines Maxima.

Meine Ideen:
Als zu maximierende Gewinnfunktion habe ich Gewinn

= 13 {(x 1)}^{0,35} \cdot {(x 2)}^{0,35} \cdot {(x 3)}^{0,16} - 3 (x 1) - 4 (x 2) - 2 (x 3)

aufgestellt. Nun habe Ich diese Funktion je nach den drei Inputs abgeleitet. So erhält man ja ein Gleichungssystem aus 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Jedoch scheitere Ich daran dieses Gleichungssystem zu lösen. Ich hatte bereits den Ansatz das Produkt in der Ableitung durch "ln" in Summen umzuformen, um so zum Ziel zukommen. Auch so komme ich jedoch nicht auf eine Lösung.
Ist der Ansatz überhaupt richtig bzw, kann mir jemand etwas auf die Sprünge helfen, wie das weitere Vorgehen aussehen könnte?

Vielen Dank für die Hilfe im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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18:16 Uhr, 28.05.2018

Hallo,

hast du es mal mit Lagrange probiert? de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator

Hierbei wäre die Nebenbedingung

K - 3 x_{1} - 4 x_{2} - 2 x_{3} = 0

Gruß pivot

anonymous

18:42 Uhr, 28.05.2018

Danke, Nein habe Ich nicht.
Es ist aber in der Aufgabenstellung keine Nebenbedingung gegeben. Oder was genau soll die Nebenbedingung und dann das

Λ

in der Lagrange-Funktion aussagen? Müsste es nicht auch ohne Nebenbedingung zu lösen sein?

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19:10 Uhr, 28.05.2018

Es ist aber in der Aufgabecstellung keine Nebenbedingung gegeben. Oder was genau soll die Nebenbedingung und dann das Λ in der Lagrange-Funktion aussagen?

Sie ist implizit gegeben. Die Kosten sind gleich

3 x_{2} + 4 x_{2} - 2 x_{3}

. Der Lagrangemulikator ist bei dieser Aufgabe nicht von Bedeutung. Aber im Prinzip kann man folgendes sagen: Erhöht man die Kosten um

Δ K

, dann reduziert sich der Umsatz um zirca

Λ \cdot Δ K

, wenn

Δ K

klein ist.

Müsste es nicht auch ohne Nebenbedingung zu lösen sein?
Ja. Das entscheidende ist, dass du bei den Bedingungen 1. Ordnung Ableitungen des Umsatzes und der Kosten jeweils auf eine Seite der Gleichung bringst und dann die partiellen Ableitungen als Bruch schreibst. Das vereinfacht vieles. Beispiel: Ableitung nach

x_{1}

und nach

x_{2}

0, 35 \cdot x_{1}^{- 0, 65} \cdot x_{2}^{0, 35} \cdot x_{3}^{0, 16} - 3 = 0

0, 35 \cdot x_{1}^{- 0, 35} \cdot x_{2}^{- 0, 65} \cdot x_{3}^{0, 16} - 4 = 0

Umstellen

0, 35 \cdot x_{1}^{- 0, 65} \cdot x_{2}^{0, 35} \cdot x_{3}^{0, 16} = 3

0, 35 \cdot x_{1}^{0, 35} \cdot x_{2}^{- 0, 65} \cdot x_{3}^{0, 16} = 4

Jetzt die 1. Gleichung durch die zweite Gleichung teilen.

\frac{0, 35 \cdot x_{1}^{- 0, 65} \cdot x_{2}^{0, 35} \cdot x_{3}^{0, 16}}{0, 35 \cdot x_{1}^{0, 35} \cdot x_{2}^{- 0, 65} \cdot x_{3}^{0, 16}} = \frac{4}{3}

Da kürzt sich auf der linken Seite schon einmal viel raus.

\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{4}{3} \Rightarrow x_{1} = \frac{4}{3} \cdot x_{2}

anonymous

19:26 Uhr, 28.05.2018

Ahh, okay danke bis hierher schon einmal.

Die Ableitungen und das umstellen danach, sodass Kosten und Umsatz getrennt stehen habe ich auch genauso gehabt. Dann habe ich jedoch versucht die Produkte auf der linken Seite aufzulösen, indem ich alles logarithmiert habe

(ln)

und dann Summen gebildet habe.. Kannst du zu diesem Ansatz eventuell auch etwas sagen? Müsste auf diese Weise doch eigentlich auch zu lösen sein oder nicht?

Und sorry, aber warum kann man die beiden Gleichungen einfach durcheinander teilen?

Danke für deine Mühe pivot.

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19:45 Uhr, 28.05.2018

Ich will nicht bestreiten, dass der logarithmus Ansatz nicht auch zum Ziel führen kann. Ich habe es aber jetzt nicht ausprobiert. Wenn du jetzt die Methode probiert hast, die ich angedeutet habe, dann hast du doch dann nur noch lineare Gleichungen, wenn du das dann auch z.B. mit der 2. und 3. Nebenbedingung machst. Dies kanns du dann nach

x_{3}

auf lösen und bekommt einen Ausdruck mit

x_{2}

. Dann kannst du

x_{1} (x_{2}) = \frac{4}{3} \cdot x_{2}

und

x_{3} (x_{2})

in die 2. partielle Ableitung einsetzen und nach

x_{2}

auflösen.

Man kann die beiden Gleichungen durch einander teilen, wenn im Nenner der Term jeweils

\neq 0

ist. Das ist hier der Fall.

anonymous

19:49 Uhr, 28.05.2018

Okay, Deinen Ansatz habe ich verstanden, ich werde es einmal so durchrechnen und mich dann noch einmal an meinen alten Ansatz wagen, wenn ich Werte habe zum vergleichen. Mich interessiert, ob ich vorher komplett auf dem Holzweg war.

Vielen Dank für deine Hilfe.

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