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Gewinnmaximierung mit zwei Variablen

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Gewinnmaximierung, zwei variablen

AnM52 aktiv_icon

00:28 Uhr, 29.05.2015

Hallo zusammen

Kann mir jemand die Aufgabe 3 im Anhang (Bild) erklären? Bin da seit Stunden dran und komme einfach nicht drauf, wie ich das lösen muss... Der zweite Anhang ist Bsp.3 von dem in der Aufgabe gesprochen wird.

Bin froh um jede Anregung..

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

07:01 Uhr, 29.05.2015

. .

. im Prinzip ist das das Gleiche, als wenn du eine Extremstelle von

z = f (x, y)

bestimmen willst. An einer solchen extremen "Spitze" sind die partiellen Ableiungen nach

x

und

y

natürlich 0. Bei dir ist

x

und

y

eben

K

und L.
Und

π (K, L)

stellt den z-Wert dar.

Es muss also für die Extremstelle der Gewinnfkt.

π (K, L) = p \cdot F (K, L) - r \cdot K - w \cdot L

gelten:

\frac{δ π (K, L)}{δ K} = 0

und

\frac{δ π (K, L)}{δ L} = 0

\frac{δ π (K, L)}{δ K} = p \cdot F' (K, L) - r

und

\frac{δ π (K, L)}{δ L} = p \cdot F' (K, L) - w

muss also:

p \cdot \frac{δ F (K, L)}{δ K} - r = p \cdot F'_{K} (K, L) - r = 0

p \cdot \frac{δ F (K, L)}{δ L} - w = p \cdot F'_{L} (K, L) - w = 0

Bestimme also die beiden partiellen Ableitungen von

F (K, L)

und setze sie in das Gleichungssystem ein. Dann bestimme

L

und

K

mit

L > 0

und

K > 0

;-)

AnM52 aktiv_icon

20:04 Uhr, 29.05.2015

Sorry aber ich begreif das immer noch nicht ganz...

die partiellen Ableitungen sind ja

F'_{K} (K, L) = - 2 K - L

F'_{L} (K, L) = - 4 L - K + 21

aber in welche Gleichung genau muss ich das jetzt einsetzen? da steht doch zwei mal das gleiche oder nicht? wäre ja dann

p \cdot - 2 K - L - r = p \cdot - 2 K - L - r

aber das ergibt ja nicht wirklich Sinn oder?

Danke für die Hilfe

columkle1892 aktiv_icon

20:26 Uhr, 29.05.2015

Zunächst solltest du die Gewinnfunktion aufstellen. Diese ist gegeben durch:

π (K, L) = p \cdot F (K, L) - r \cdot K - w \cdot L

Mit

p = 1

r = 0, 65

und

w = 1, 2

ergibt sich:

π (K, L) = 80 - (K - 3)^{2} - 2 \cdot (L - 6)^{2} - (K - 3) \cdot (L - 6) - 0, 65 K - 1, 2 L

Ziel ist es diese Gewinnfunkion zu maximieren. Dafür bestimmt man zunächst die partiellen Ableitungen und setzt diese gleich null:

\frac{\partial}{\partial K} π (K, L) = - 2 \cdot (K - 3) - L + 5, 35 \overset{!}{=} 0

\frac{\partial}{\partial L} π (K, L) = - 4 \cdot (L - 6) - K + 1, 8 \overset{!}{=} 0

AnM52 aktiv_icon

20:52 Uhr, 29.05.2015

Ok, so weit ist klar, aber was mach ich dann? Ich kriege da einfach nicht die richtige Lösung raus.
Wenn ich es gleich null setze, heisst das doch, das ich es

z . b

. nach

K

auflösen kann, und das

K

dann durch die Lösung substituiere. wenn ich es danach nach

L

auflöse, komme ich aber nicht auf die richtige Lösung.
Weiss nicht was ich falsch mache.

columkle1892 aktiv_icon

21:03 Uhr, 29.05.2015

Die erste Gleichung löst du nach

L

auf:

L = - 2 \cdot (K - 3) + 5, 35

Nun setzt du die erste in die zweite Gleichung ein, also:

- 4 \cdot (\underset{= L}{\underset{⎵}{- 2 \cdot (K - 3) + 5, 35}} - 6) - K + 1, 8 = 0

Dies nach K aufgelöst ergibt:

K = 2, 8

Damit folgt für L:

L = 5, 75

AnM52 aktiv_icon

09:30 Uhr, 30.05.2015

Ok alles klar. Dankeschön!

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