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Gewinnverteilung

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Tags: MATH, Mathematik

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19:12 Uhr, 22.02.2021

Guten Tag,

ich bin zwar Student aber diese Frage hat nichts mit meinem Studium zu tun. Hoffe es ist dennoch in Ordnung. Ich möchte für einen Verein eine Formel erstellen um die Summe der Einsätze fairer zu verteilen. Dabei gibt es zum einen die Persönliche Leistung in Punkten, (Je mehr desto besser, Negativ ist auch möglich) und den Persönlichen Einsatz (Variiert von Person zu Person). Für die Formel gibt es ein paar Bedingungen:
1. Der Gewinn einer Person mit durchschnittlicher Leistung muss 0 sein also Einsatz = Ertrag
2. Die Erträge dürfen nicht negativ sein.
3. Die Erträge sollen möglichst gleichmäßig im Bezug zur Leistung und Einsatz verteilt werden.

Wenn die Persönliche Leistung nicht negativ wäre und es die erste Bedingung nicht gäbe hätte ich keine Schwierigkeiten damit, aber dass ist mir deutlich zu kompliziert und ich bin jedem sehr dankbar der mir hilft das Problem zu lösen.

Vielen Dank im voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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19:28 Uhr, 22.02.2021

Was ist mit Leistung, Einsatz, Gewinn und Ertrag gemeint?
Worum geht es bei diese Verein?

Könntest du das bitte anschaulicher darstellen?

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19:44 Uhr, 22.02.2021

Leistung: die Veränderung einer Glicko-2 Wertungszahl über eine bestimmte Zeit.
Einsatz: Geldeinsatz welcher von person zu person unterschiedlich ist. Beispiel: Person A 4,60€, Person

B

4,00€, Person

C

3,60€ usw.
Gewinn: Ertrag - Einsatz
Ertrag: Der Persönliche Ertrag aus der Verteilung des Geldes aus der Summe der persönlichen Einsätze.

Hoffe das es anschaulicher geworden ist.

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20:06 Uhr, 22.02.2021

Hallo,

auf jeden Fall würde ich die Funktion abschnittsweise definieren.

Edit: Ohne abschnittsweise definierter Funktion klappt es sogar besser.

Mein Versuch für Ertrag der Person i

{Ertrag}_{i} = \frac{L_{i}}{\bar{L}} \cdot E_{i},

L_{i}

: Leistung der Person i

\bar{L}

: durchschnittliche Leistung

E_{i}

: Einsatz der Person i

Gruß
pivot

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20:20 Uhr, 22.02.2021

Ich versuche es noch anhand eines Beispiels zu Verdeutlichen:
Person A hat eine Leistung von

15

punkten und einen Einsatz von 3€, Person

B 22

Punkte und 5€, Person

C 26

Punkte und 2€ und Person

D 21

Punkte und 4€. Die gesamt Einsätze sind also 14€. Normalerweise würde ich das Geld mittels:
Leistung*Einsatz*Summe Einsätze/Summe (Einsatz*Leistung)
Bei Person A wäre das

15 \cdot 3 \cdot \frac{14}{291} = 2,16

Damit wäre der Ertrag 2,16€ und der Gewinn -0,84€

Bei Person

B :

22 \cdot 5 \cdot \frac{14}{291} = 5,29

Gewinn=0,29

Person

C :

2,50

Gewinn=0,50

Person

D :

4,04

Gewinn=0,04

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20:23 Uhr, 22.02.2021

@Coquimbo

Ich habe meinen Beitrag editiert. Sind denn alle Bedingungen erfüllt?

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20:47 Uhr, 22.02.2021

Danke für die Formel.
Ich versuche es mal mittels Echtwerten zu nutzen.
Person Leistung Einsatz

A; 23; 3

B; 2; 5

C; - 16; 2

D; - 18; 4

E; - 2,25; 5

Person

E

ist erfunden und gibt nur den Durchschnitt wieder
mittels deiner Formel:

A : \frac{23}{- 2,25} \cdot 3 = - 30,67

B : \frac{2}{- 2,25} \cdot 5 = - 4,44

C : - \frac{16}{- 2,25} \cdot 2 = 14,22

D : - \frac{18}{- 2,25} \cdot 4 = 32

E : - \frac{2,25}{- 2,25} \cdot 5 = 5

Es nähert sich schon dem gewünschten an hat aber noch ein paar kleinere Mängel. Es ist nicht berücksichtigt dass die mittlere Leistung auch negativ sein kann, die Erträge dürfen nicht negativ sein, Die gesamterträge sind mit

16,11

kleiner als die Einsätze von 19€ sollten aber natürlich gleich sein.

Ich Denke aber dass die Verteilung in Ordnung ist und Bedingung 1 ist auch erfüllt.

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20:58 Uhr, 22.02.2021

<<Die gesamterträge sind mit 16,11 kleiner als die Einsätze von 19€ sollten aber natürlich gleich sein.<<

Ist das jetzt noch eine notwendige Zusatzbedinung?

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20:59 Uhr, 22.02.2021

Ja ist es. Entschuldigung hatte ich vergessen zu erwähnen.
Bedingung 4:
Gesamterträge = Gesamteinsatz (kann leider meine Frage nicht bearbeiten.)

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13:24 Uhr, 23.02.2021

Ich habe mir noch ein paar gedanken gemacht wie man die bedingungen erfüllen könnte.

für die erste Bedingung: Wenn Ertrag=Leistung*Einsatz*Summe Einsätze/Summe (Einsatz*Leistung) Dann muss wenn die Leistung durchschnittlich ist: 1=durchschnittliche Leistung*Summe Einsätze/Summe (Einsatz*Leistung)
durch umstellung folgt: durchschnittliche Leistung=Summe (Einsatz*Leistung)/Summe Einsätze. Am Beispiel:
Person Leistung Einsatz

A; 23; 3

B; 2; 5

C;−16;2
D;−18;4
E;−2,25;5
ist der Ist-Wert

- 2,25;

durch die formel durchschnittliche Leistung=Summe (Einsatz*Leistung)/Summe Einsätze ergibt sich der Soll-Wert:

- \frac{36,25}{19} = - 1,91

Wenn ich nun mit der differenz von Soll/Ist nämlich

0,34

alle Leistungen anpasse, folgt:
Person Leistung Einsatz

A; 23,34; 3

B; 2,34; 5

C;−15,66;2
D;−17,66;4
E;−1,91;5

dann ändert sich natürlich die Summe (Einsatz*Leistung). Gibt es eine möglichkeit wie man die Werte mit einer einzigen Rechnung anpassen kann oder muss man es mehrfach wiederholen oder hat jemand eine ganz andere Alternative?

für die 2. Bedingung:

Wenn ich davon ausgehe dass x*Einsatz=Ertrag ist, muss es einen Fixpunkt geben nämlich

x = 1

für den Fall, dass die Leistung durchschnittlich ist. Wenn ich davon ausgehe, das dieser Wert negativ ist, dann komme ich weder zu einer Lösung wenn ich durch den Selben wert dividiere um die 1 zu erreichen da dadurch die anderen Werte angepasst werden. Mit dem Betrag sehe ich auch keine gute möglichkeit. Als eine Möglichkeit sehe ich die anpassung der Werte um nur positive werte zu erreichen, zum beispiel in dem ich einen negativen wert als fixpunkt festlege eben so wie den wert wenn die Leistung durchschnittlich ist. den einen könnte ich dann mit 0 gleichsetzten, den anderen mit 1 und die werte dann entsprechend darauf verteilen, der nachteil ist aber wenn der Wert den ich mit 0 gleichsetze nicht negativ genug ist, könnten extremwerte ggf. kleiner sein, oder wenn der wert zu negativ ist, würden sich alle übertragenen werte je negativer der fixpunkt ist immer näher der 1 annähern und den Gewinn/Verlust in den centbereich treiben. Daher halte ich eine Exponentialgleichung für die beste Lösung

z . B

{1,1}^{x},

da diese sich nur der 0 annähert. da musste nur der wert für den fall, dass die Leistung durchschnittlich ist,

= 0

sein um die 1 zu erreichen.

Ich hoffe ich konnte meine Gedanken verständlich machen. Es ist weiterhin sehr allgemein und ich schaffe es nicht die einzelnen Überlegungen zu kombinieren und damit eine Gleichung aufzustellen welche auch die anderen Bedingungen erfüllt. Ich wäre Überaus dankbar wenn mir jemand weiterhelfen könnte!

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