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Gewinnwahrscheinlichkeit berechnen

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Zufallsvariablen

Tags: Binomialkoeffizient, Erwartungswert, Gewinnwahrscheinlichkeit, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

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17:56 Uhr, 31.01.2018

Hallo,

ich suche die Gewinnwahrscheinlichkeit in dem folgenden Beispiel:

Ich ziehe aus der Menge TE=

{

4,5,33,75,90} ein Element, wobei die Wahrscheinlichkeit für jedes Element dieses zu ziehen gleich ist. Jeder Gegner zieht aus der Menge TG={10,

20, 22, 30, 40, 74, 82, 91, 95}

ein Element ohne zurücklegen (auch gleiche Wahrscheinlichkeit für jedes Elemet).
Das Spiel hat derjenige Gewonnen der einen höheren Wert des Elementes hat.

Jetzt ist die Frage wie hoch meine Gewinnwahrscheinlichkeit in abhängigkeit von den Mengen TE,TG und der Anzahl der Gegner ist.

Wie man die Wahrscheinlichkeit für einen Gegner berechnet, habe ich schon herausgefunden, für das Beispiel:

TE=4:

\frac{0}{9}

TE=5:

\frac{0}{9}

TE=33:

\frac{4}{5 + 4}

TE=75:

\frac{6}{6 + 3}

TE=90:

\frac{7}{7 + 2}

Dann den Mittelwert aus den Einzelwahrscheinlichkeiten bilden: Gewinnwahrscheinlichkeit(TE,TG,Gegneranzahl=1)

= p = 0.6296

.
Durch eine Monte-Carlo Simulation habe ich eine sehr gute Näherung (oder ist das Vielleicht die reale Wahrscheinlichkeit?) durch die Gleichung Gewinnwahrscheinlichkeit=p^Gegner bekommen. Das funktioniert aber nur wenn die Menge TE nur ein Element hat.

Ich hoffe mir kann hier jemand helfen, da ich leider im meinem Studium kein Statistik fach hatte...

Besten Gruß,
Matpro

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Roman-22

22:13 Uhr, 31.01.2018

Ich muss dich enttäuschen. Deine Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Gegner beträgt nur

33,78 % (\frac{17}{45})

. Du hast bei deiner Berechnung offenbar vergessen zu beachten, dass deine ersten Züge aus den 5 Zahlen ja auch dem Zufall unterworfen sind.

Du gewinnst nur, wenn du

33, 75

oder

90

ziehst und der Gegner dann jeweils eine entsprechende Zahl aus den niedrigsten

4, 6

bzw. 7 Zahlen.

Konkret:

P = \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{9} + \frac{1}{5} \cdot \frac{6}{9} + \frac{1}{5} \cdot \frac{7}{9} = \frac{17}{45}

.
Bei mehr Gegner musst du spezifieren, ob der zweite Gegner immer noch die volle Auswahl aus allen neun Zahlen hat, oder ob er die zahl des ersten Gegners nicht mehr wählen kann (zB weil die Karte schon weg ist).

Falls alle neun zahlen noch zur Verfügung stehen, dann ist deine Gewinnwahrscheinlichkeit bei

n

Gegnern

P = \frac{4^{n} + 6^{n} + 7^{n}}{5 \cdot 9^{n}}

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23:42 Uhr, 31.01.2018

Ja genau

\frac{17}{45}

ist richtig, ich hatte es auch so beschrieben gehabt aber hatte mich an eine falsche Zahl erinnert.

Danke, jetzt weiß ich was ich falsch gemacht hatte, ich hatte immer folgendes berechnet:

\frac{{(\frac{4 + 6 + 7}{9})}^{n}}{5}

. Deine Formel passt jetzt auch mit dem Ergebnis der MC Simulation zusammen.

Kannst du mir noch die Formel für "ohne Zurücklegen" geben?

Danke für deine Mühe

Roman-22

01:31 Uhr, 01.02.2018

Ohne Zurücklegen wird man wohl eine Fallunterscheidung je nach Anzahl der Gegner machen müssen. dafür ist die Anzahl der Gegener maximal 9.
Da gibts vermutlich keine geschlossene Formel. Und sobald du mehr als 7 Gegner hast, kannst du dann auch nicht mehr gewinnen.

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19:20 Uhr, 05.02.2018

Eine Frage habe ich noch...

Das Spiel wird jetzt erweitert, indem bei beiden Mengen TE und TG gleiche Werte enthalten sein können. Um auf das vorherige Beispiel zurückzugreifen, ändert sich jetzt die Menge TE auf
TE=

{

4,5,33,74,95}

(75 - \to 74

und

90 - \to 95

geändert) und die Menge TG bleibt TG=

{

10,20,22,30,40,74,82,91,95}. Wenn mein Wert dem maximalen Wert des Gegners entspricht, dann gibts unentschieden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit zu Gewinnen und wie hoch ist sie für Unentschieden?

Beispiel: Ich ziehe aus meiner Menge den Wert

74

und meine drei Gegner jeweils

10,40,74 - \to

Unentschieden, Ich

74

Gegner

40,74,82 - \to

Verloren

Meine Wahrscheinlichkeit zu gewinnen müsste folgende sein:

\frac{2 \cdot {(\frac{0}{9})}^{n} + {(\frac{4}{9})}^{n} + {(\frac{6 - 1}{9})}^{n} + {(\frac{7 + 2}{9})}^{n}}{5}

Aber auf die Wahrscheinlichkeit für Unentschieden komme ich nicht. Für einen Gegenspieler müsste sie

\frac{\frac{2}{9}}{5}

sein.

Roman-22

20:46 Uhr, 05.02.2018

Wenn du die Wkt dafür, dass du gewinnst, berechnen kannst, dann doch sicher auch die dafür, dass du verlierst. Was dann noch auf

100 %

fehlt ist die Wkt für unentschieden.
So wie ich das jetzt anhand deines Beispiels sehe spielen alle Gegner gemeinsam gegen dich und es zählt bei deinen 3 Gegnern der beste ihrer drei Züge.
Was du nicht angibst ist, ob bei deinem Spiel die Zahl, die gezogen wurde, wieder zurückgelegt wird und erneut gezogen werden kann oder nicht.
So wie du die Rechnung ansetzt, wird also zurück gelegt.
Ich weiß nicht, wie du dir diese Ausdrücke

6 - 1

und

7 + 2

überlegt hast, aber der letzte Summand ist nicht

{(\frac{7 + 2}{9})}^{n},

sondern

{(\frac{8}{9})}^{n},

da, wenn du die

95

wählst, deine Gegner alle Zahlen bis auf den 95er wählen dürfen und das sind nur 8 Stück.

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20:53 Uhr, 05.02.2018

Das Spiel funktioniert eigentlich mit zurücklegen, aber die beiden Mengen sind jeweils so groß, dass dies keine große Rolle mehr spielt. Deshalb kann man die Annahme mit zurücklegen einfachhalber ansetzen.

Mir geht es eigentlich nur noch darum wie ich die wahrscheinlichkeit eines unentschiedens in Abhängigkeit der Anzahl Gegenspieler berechen kann.

Roman-22

21:10 Uhr, 05.02.2018

>

Mir geht es eigentlich nur noch darum wie ich die wahrscheinlichkeit eines unentschiedens in Abhängigkeit der Anzahl Gegenspieler berechen kann.

Einfachste Methode, bei der man nicht viel nachdenken muss ist:

P (G e w i n n) = \frac{1}{5} \cdot ({(\frac{0}{9})}^{n} + {(\frac{0}{9})}^{n} + {(\frac{4}{9})}^{n} + {(\frac{5}{9})}^{n} + {(\frac{8}{9})}^{n})

Im Zähler steht jeweils die Anzahl der Zahlen, die kleiner sind als die gerade betrachtete aus der ersten Menge.

P (G e w i n n o d e r U n e n t s c h .) = \frac{1}{5} \cdot ({(\frac{0}{9})}^{n} + {(\frac{0}{9})}^{n} + {(\frac{4}{9})}^{n} + {(\frac{6}{9})}^{n} + {(\frac{9}{9})}^{n})

Im Zähler steht jeweils die Anzahl der Zahlen, die kleiner ODER GLEICH sind als die gerade betrachtete aus der ersten Menge.

Die WKT für Unentschieden ist dann die Differenz

P (U n e n t s c h .) = P (G e w i n n o d e r U n e n t s c h .) - P (G e w i n n) = \frac{1}{5} \cdot (1 + {(\frac{2}{3})}^{n} - {(\frac{5}{9})}^{n} - {(\frac{8}{9})}^{n})

Für

n = 1

stellen sich dann die von dir bereits genannten

\frac{2}{45} \approx 4,44 %

ein.
Für

n = 3

ergibt sich

\frac{308}{3645} \approx 8,45 %

.

Der Vollständigkeit halber noch die Wkt zu verlieren. Die berechnet sich ganz einfach mit

P (V e r l u s t) = 1 - P (G e w i n n o d e r U n e n t s c h .) = \frac{1}{5} \cdot (4 - {(\frac{4}{9})}^{n} - {(\frac{2}{3})}^{n})

.

Mit steigender Gegneranzahl sinkt deine Gewinnwahrscheinlichkeit auf

0,

die Wkt für Unentschieden steigt auf

20 %

und deine Verlustwahrscheinlichkeit pendelt sich rasch bei

80 %

ein.

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22:35 Uhr, 05.02.2018

Ja genau

{(\frac{8}{9})}^{n} . .

. war mal wieder in der Eile falsch eingetippt.

Mit der Differenz hatte ich mir auch schon überlegt, nur ich hätte lieber direkt eine Formel dafür gehabt.. aber fürs erste soll's reichen.

Danke für deine Mühe

Roman-22

01:53 Uhr, 06.02.2018

>

Mit der Differenz hatte ich mir auch schon überlegt, nur ich hätte lieber direkt eine Formel dafür gehabt
Die hast du damit doch! Schau dir die Ausdrücke doch mal genauer an!

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