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Gewinnwahrscheinlichkeit berechnen

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Tags: Binomialkoeffizient, Erwartungswert, Gewinnwahrscheinlichkeit, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

 
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Matpro

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17:56 Uhr, 31.01.2018

Antworten
Hallo,

ich suche die Gewinnwahrscheinlichkeit in dem folgenden Beispiel:

Ich ziehe aus der Menge TE={4,5,33,75,90} ein Element, wobei die Wahrscheinlichkeit für jedes Element dieses zu ziehen gleich ist. Jeder Gegner zieht aus der Menge TG={10, 20,22,30,40,74,82,91,95} ein Element ohne zurücklegen (auch gleiche Wahrscheinlichkeit für jedes Elemet).
Das Spiel hat derjenige Gewonnen der einen höheren Wert des Elementes hat.

Jetzt ist die Frage wie hoch meine Gewinnwahrscheinlichkeit in abhängigkeit von den Mengen TE,TG und der Anzahl der Gegner ist.

Wie man die Wahrscheinlichkeit für einen Gegner berechnet, habe ich schon herausgefunden, für das Beispiel:

TE=4: 09
TE=5: 09
TE=33: 45+4
TE=75: 66+3
TE=90: 77+2

Dann den Mittelwert aus den Einzelwahrscheinlichkeiten bilden: Gewinnwahrscheinlichkeit(TE,TG,Gegneranzahl=1) =p=0.6296.
Durch eine Monte-Carlo Simulation habe ich eine sehr gute Näherung (oder ist das Vielleicht die reale Wahrscheinlichkeit?) durch die Gleichung Gewinnwahrscheinlichkeit=p^Gegner bekommen. Das funktioniert aber nur wenn die Menge TE nur ein Element hat.

Ich hoffe mir kann hier jemand helfen, da ich leider im meinem Studium kein Statistik fach hatte...


Besten Gruß,
Matpro
Hierzu passend bei OnlineMathe:

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Antwort
Roman-22

Roman-22

22:13 Uhr, 31.01.2018

Antworten
Ich muss dich enttäuschen. Deine Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Gegner beträgt nur 33,78%(1745). Du hast bei deiner Berechnung offenbar vergessen zu beachten, dass deine ersten Züge aus den 5 Zahlen ja auch dem Zufall unterworfen sind.

Du gewinnst nur, wenn du 33,75 oder 90 ziehst und der Gegner dann jeweils eine entsprechende Zahl aus den niedrigsten 4,6 bzw. 7 Zahlen.

Konkret: P=1549+1569+1579=1745.
Bei mehr Gegner musst du spezifieren, ob der zweite Gegner immer noch die volle Auswahl aus allen neun Zahlen hat, oder ob er die zahl des ersten Gegners nicht mehr wählen kann (zB weil die Karte schon weg ist).

Falls alle neun zahlen noch zur Verfügung stehen, dann ist deine Gewinnwahrscheinlichkeit bei n Gegnern P=4n+6n+7n59n

Matpro

Matpro aktiv_icon

23:42 Uhr, 31.01.2018

Antworten
Ja genau 1745 ist richtig, ich hatte es auch so beschrieben gehabt aber hatte mich an eine falsche Zahl erinnert.

Danke, jetzt weiß ich was ich falsch gemacht hatte, ich hatte immer folgendes berechnet: (4+6+79)n5. Deine Formel passt jetzt auch mit dem Ergebnis der MC Simulation zusammen.

Kannst du mir noch die Formel für "ohne Zurücklegen" geben?

Danke für deine Mühe

Antwort
Roman-22

Roman-22

01:31 Uhr, 01.02.2018

Antworten
Ohne Zurücklegen wird man wohl eine Fallunterscheidung je nach Anzahl der Gegner machen müssen. dafür ist die Anzahl der Gegener maximal 9.
Da gibts vermutlich keine geschlossene Formel. Und sobald du mehr als 7 Gegner hast, kannst du dann auch nicht mehr gewinnen.
Matpro

Matpro aktiv_icon

19:20 Uhr, 05.02.2018

Antworten
Eine Frage habe ich noch...

Das Spiel wird jetzt erweitert, indem bei beiden Mengen TE und TG gleiche Werte enthalten sein können. Um auf das vorherige Beispiel zurückzugreifen, ändert sich jetzt die Menge TE auf
TE={4,5,33,74,95} (75-74 und 90-95 geändert) und die Menge TG bleibt TG={10,20,22,30,40,74,82,91,95}. Wenn mein Wert dem maximalen Wert des Gegners entspricht, dann gibts unentschieden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit zu Gewinnen und wie hoch ist sie für Unentschieden?

Beispiel: Ich ziehe aus meiner Menge den Wert 74 und meine drei Gegner jeweils 10,40,74- Unentschieden, Ich 74 Gegner 40,74,82- Verloren

Meine Wahrscheinlichkeit zu gewinnen müsste folgende sein:

2(09)n+(49)n+(6-19)n+(7+29)n5

Aber auf die Wahrscheinlichkeit für Unentschieden komme ich nicht. Für einen Gegenspieler müsste sie 295 sein.

Antwort
Roman-22

Roman-22

20:46 Uhr, 05.02.2018

Antworten
Wenn du die Wkt dafür, dass du gewinnst, berechnen kannst, dann doch sicher auch die dafür, dass du verlierst. Was dann noch auf 100% fehlt ist die Wkt für unentschieden.
So wie ich das jetzt anhand deines Beispiels sehe spielen alle Gegner gemeinsam gegen dich und es zählt bei deinen 3 Gegnern der beste ihrer drei Züge.
Was du nicht angibst ist, ob bei deinem Spiel die Zahl, die gezogen wurde, wieder zurückgelegt wird und erneut gezogen werden kann oder nicht.
So wie du die Rechnung ansetzt, wird also zurück gelegt.
Ich weiß nicht, wie du dir diese Ausdrücke 6-1 und 7+2 überlegt hast, aber der letzte Summand ist nicht (7+29)n, sondern (89)n, da, wenn du die 95 wählst, deine Gegner alle Zahlen bis auf den 95er wählen dürfen und das sind nur 8 Stück.



Matpro

Matpro aktiv_icon

20:53 Uhr, 05.02.2018

Antworten
Das Spiel funktioniert eigentlich mit zurücklegen, aber die beiden Mengen sind jeweils so groß, dass dies keine große Rolle mehr spielt. Deshalb kann man die Annahme mit zurücklegen einfachhalber ansetzen.

Mir geht es eigentlich nur noch darum wie ich die wahrscheinlichkeit eines unentschiedens in Abhängigkeit der Anzahl Gegenspieler berechen kann.
Antwort
Roman-22

Roman-22

21:10 Uhr, 05.02.2018

Antworten
> Mir geht es eigentlich nur noch darum wie ich die wahrscheinlichkeit eines unentschiedens in Abhängigkeit der Anzahl Gegenspieler berechen kann.

Einfachste Methode, bei der man nicht viel nachdenken muss ist:

P(Gewinn)=15((09)n+(09)n+(49)n+(59)n+(89)n)
Im Zähler steht jeweils die Anzahl der Zahlen, die kleiner sind als die gerade betrachtete aus der ersten Menge.

P(Gewinn oder Unentsch.)=15((09)n+(09)n+(49)n+(69)n+(99)n)
Im Zähler steht jeweils die Anzahl der Zahlen, die kleiner ODER GLEICH sind als die gerade betrachtete aus der ersten Menge.

Die WKT für Unentschieden ist dann die Differenz
P(Unentsch.)=P(Gewinn oder Unentsch.)-P(Gewinn)=15(1+(23)n-(59)n-(89)n)

Für n=1 stellen sich dann die von dir bereits genannten 2454,44% ein.
Für n=3 ergibt sich 30836458,45%.

Der Vollständigkeit halber noch die Wkt zu verlieren. Die berechnet sich ganz einfach mit
P(Verlust)=1-P(Gewinn oder Unentsch.)=15(4-(49)n-(23)n).

Mit steigender Gegneranzahl sinkt deine Gewinnwahrscheinlichkeit auf 0, die Wkt für Unentschieden steigt auf 20% und deine Verlustwahrscheinlichkeit pendelt sich rasch bei 80% ein.
Bild

Frage beantwortet
Matpro

Matpro aktiv_icon

22:35 Uhr, 05.02.2018

Antworten
Ja genau (89)n... war mal wieder in der Eile falsch eingetippt.

Mit der Differenz hatte ich mir auch schon überlegt, nur ich hätte lieber direkt eine Formel dafür gehabt.. aber fürs erste soll's reichen.

Danke für deine Mühe
Antwort
Roman-22

Roman-22

01:53 Uhr, 06.02.2018

Antworten
> Mit der Differenz hatte ich mir auch schon überlegt, nur ich hätte lieber direkt eine Formel dafür gehabt
Die hast du damit doch! Schau dir die Ausdrücke doch mal genauer an!