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Gewöhnliche DGL 1.Ordnung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Vlad00 aktiv_icon

15:23 Uhr, 08.12.2022

Ich bin mir nicht sicher ob es der richtige Ansatz ist und ob ich es auch richtig angewendet habe. Falls der Anfang stimmt, wie geht es dann weiter? Nur die Schritte würden ausreichen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

15:32 Uhr, 08.12.2022

Du integrierst da fröhlich

x

bzgl.

y

und umgekehrt, so als ob das jeweils Konstanten gegenüber der anderen Variable wären - sind sie aber nicht. :(

-----------------------------------------------------------------------------

Mit dem Nenner multipliziert und das

y

auch noch nach links gebracht bekommt man aus der Original-DGL die Gleichung

y^{ʹ} (2 y + x + 1) + y = \sin (2 x) (*)

Jetzt mal scharf hingeschaut erkennt man

{[y (y + x + 1)]}^{ʹ} = y^{ʹ} (y + x + 1) + y (y^{ʹ} + 1) = y^{ʹ} (2 y + x + 1) + y

, d.h., man kann (*) direkt integrieren mit Ergebnis

y (y + x + 1) = - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C

.

Die Auflösung nach

y

(quadratische Gleichung) sollte nun kein größeres Problem mehr sein.

Vlad00 aktiv_icon

16:32 Uhr, 08.12.2022

Danke vielmals! Ich wusste schon gar nicht mehr was ich machen soll. Da wäre noch eine Frage, ich habe es jetzt nach

y

aufgelöst und es ergeben sich 2 Lösungen. Bestimme ich dann das

C

mit der Variation der Konstanten? Also

C (x), y 1

und

y 2

ableiten und je ein Mal

y 1, y 1'

und

y 2, y 2'

in die Ursprüngliche DGL einsetzen, und nach

C (x)

auflösen, dann das

C (x)

in die

y 1

und

y 2

einsetzen und das wären dann die Allgemeinen Lösungen die gefragt sind?

HAL9000

16:57 Uhr, 08.12.2022

Wie kommst du denn auf Variation der Konstanten???

C

ist

C

, also eine Konstante. Wozu auch das ganze, die DGL ist (implizit) gelöst. Was allenfalls noch fehlt, ist ein Umstellen nach

y

sowie eine Diskussion über den Geltungsbereich der Lösungen (in Abhängigkeit von

C

).

Nebenbei bemerkt ist "Variation der Konstanten" eine Methode zur Lösung inhomogener LINEARER (!) Differentialgleichungen. Eine solche liegt hier nicht vor.

Vlad00 aktiv_icon

17:07 Uhr, 08.12.2022

Ach so ist es... Ok, dann vielen Dank noch Mal. Und noch eine letzte Frage, es tut mir leid, wenn ich mit diesen Rückfragen nerve, aber ich möchte es richtig verstehen :-), und zwar, wie würde man es lösen wenn man nicht gesehen hätte, dass man

(\cdot)

direkt integrieren kann? So habe ich das angefangen aber es scheint nicht ganz so zu funktionieren wie ich es mir vorstelle...

ledum aktiv_icon

16:52 Uhr, 10.12.2022

Hallo
Wenn man eine gute Methode nicht sieht, hat man einfach Pech, bzw muss rumprobieren ob man mit einer Substitution was einfacheres hinkriegt. Was auf deine Zeiten steht ist nicht hilfreich, denn

i d x

kannst du ja nicht integrieren wenn

y

gesucht ist.
Gruß lul
und bitte abhaken, wenn erledigt.

Loewe1

18:34 Uhr, 10.12.2022

Hallo,

Diese DGL kannst Du als exakte DGL lösen, falls bekannt oder behandelt.
Die Lösung kannst Du auch in impliziter Darstellung angeben, falls in der Aufgabe nicht anders gefordert. Es ist meistens so, das ein Prof "seine" Methode abprüft, aber das muß VOR der Klausur besprochen werden.

Vlad00 aktiv_icon

19:14 Uhr, 10.12.2022

Vilen Dank an euch alle, ihr habt mir wirklich sehr geholfen!!

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