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Gibt es ein W-Maß auf R mit dieser Eigenschaft?

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: MATH, Mathematik, Stochastik, Wahrscheinlichkeitsmaß

anonymous

18:56 Uhr, 20.02.2023

Hallo!

Gibt es ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf

(ℝ, B)

, wobei

B

die Borel-

σ

-Algebra ist, mit den Eigenschaften

P ({0}) = \frac{1}{2}

und

P ((- \infty, 0)) = \frac{1}{3}

?

Gibt es ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf

(ℝ, B)

, mit den Eigenschaften

P ({0}) = \frac{1}{2}

und

P ((- \infty, 1)) = \frac{1}{3}

?

Wenn es ein solches nicht gibt, dann begründen Sie es. Ansonsten beschreiben Sie bitte ein konkretes.

Meine Hauptfrage ist, wie gehe ich am besten an eine solche Frage ran... Ich habe noch viel mehr solcher Aufgaben gesehen und bin mir nicht sicher, wie ich vorgehen soll. Sollte es ein solches nicht geben, so denke ich, sollte ich einen Widerspruch zu der Definition von W-Maßen finden.

Ich habe auch gesehen:

Gibt es ein Wahrscheinlichkeitsmaß

P

auf

(ℝ, 2^{ℝ})

mit

P {\frac{1}{4}} = \frac{1}{4}

und

P {\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}

? Hier ist die Antwort tatsächlich ja, aber ich sehe nicht, warum und kann auch kein konkretes angeben tatsächlich.

Gibt es ein Wahrscheinlichkeitsmaß

P

auf

(ℝ, 2^{ℝ})

mit

P {\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

und

P {\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}

? Hier ist die Antwort nein. Auch hier weiß ich nicht, wie ich vorgehen soll, um ein Wiederspruch zu finden...

Vielleicht kann mir ja jemand von euch dabei helfen, Aufgaben dieser Form lösen zu können. Danke und LG!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

20:30 Uhr, 20.02.2023

1) Ja: Konstruiere ein solches Maß, z.B. eine geeignete diskrete Verteilung auf den drei Werten -1, 0 und 1.

2) Nein: Die Forderung widerspricht der Monotonie

P (A) \leq P (B)

für alle

A \subseteq B

anonymous

20:31 Uhr, 20.02.2023

Super, ich danke dir vielmals!

HAL9000

20:34 Uhr, 20.02.2023

3) Ja: Klappt wieder mit Dreipunktverteilung

P ({\frac{1}{4}}) = \frac{1}{4}

P ({\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3}

sowie

P ({x}) = 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}

für irgend ein anderes

x

, z.B.

x = 0

.

4) Nein: Klappt nicht wegen

1 \geq P ({\frac{1}{2}, \frac{2}{3}}) = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{7}{6} > 1

, Widerspruch.

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