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Gläser anstoßen

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient

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10:02 Uhr, 01.06.2012

Auf einer Party seien

m

Paare. Jeder stößt mit jedem anderen an, außer mit sich selbst und seinem Partner. Wie oft erklingen die Gläser ?

Der erste Ansatz, der mir dazu einfällt, lautet:
Es gibt ja

2 m

Personen, wenn es

m

Paare gibt. Sei "ich" eine beliebige Person aus diesen

2 m

Leuten. Da ich weder mit mir, noch mit meiner Partnerin anstoßen kann, stoße ich insgesamt mit

2 m - 2

Leuten an. Da ich beliebig bin, gilt das für jeden und es müssten daher

(2 m - 2) \cdot m

mal die Gläser klingen.

So, der zweite Ansatz scheint mit dem Binomialkoeffizienten zu gelingen:
Wenn jeder mit jedem anstößt (außer mit sich selbst), dann passiert (abstrakt) nichts anderes, als die Bildung aller 2-elementigen Teilmengen einer

2 m -

elementigen Menge. Nun, wenn das passiert ist, sind ja die "verbotenen Antöße" auch dabei. Da ein Paar

(i, i)

mit

1 \leq i \leq m

m

mal vorkommt, muss dies abgezogen werden, womit der Ansatz

(\binom{2 m}{2}) - 2 m

lauten müsste.

Ich habe aber witzigerweise genau dieses Beispiel in einem Lehrbuch gefunden und in der Lösung stand:

(\binom{m}{2}) - m .

Meiner Ansicht nach hat der Dozent sich nicht mehr erinnert, was er mit

m

bezeichnet hat, er hat - so sehe ich das zumindest - angenommen,

m

sei die Anzahl der Menschen (und gerade).
Aber das ergibt keinen Sinn. Was sollen denn 2 Paare von m Paaren bedeuten?? Was mich ich mit den vier Personen? ? Er muss sich doch geirrt haben, oder?

Bemerkung: Der erste Ansatz ist weder zu meinem, noch von dem vom Dozenten, äquivalent; wie kann das sein?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Bummerang

10:44 Uhr, 01.06.2012

Hallo,

Dein erster Ansatz ist richtig, auch wenn Du nicht ausgeführt hast, dass Du für

2 \cdot m

Personen ein Klingeln abziehst und am Ende die die Doppelzählung aller "Anstöße" durch den Faktor

\frac{1}{2}

berücksichtigt hast. und sich die 2 und die

\frac{1}{2}

wegheben. So ergibt sich:

(2 \cdot m - 2) \cdot m = 2 \cdot m^{2} - 2 \cdot m

Dein zweiter Ansatz ist fehlerhaft, denn am Ende müssen bei diesem Ansatz nur

m

"Anstöße" abgezogen werden, da der Binomialkoeffizient schon die doppelten nicht mehr enthält. Man kommt damit letztendlich auf das selbe Ergebnis wie im ersten Ansatz

(\begin{matrix} 2 \cdot m \\ 2 \end{matrix}) - m = \frac{(2 \cdot m) \cdot (2 \cdot m - 1)}{1 \cdot 2} - m = m \cdot (2 \cdot m - 1) - m = 2 \cdot m^{2} - m - m = 2 \cdot m^{2} - 2 \cdot m

Der letzte Ansatz kann nicht richtig sein, das ist dann wohl ein klassischer Druckfehler, da die

2 \cdot

im Binomialkoeffizienten fehlen.

(\begin{matrix} m \\ 2 \end{matrix}) - m = \frac{(m) \cdot (m - 1)}{1 \cdot 2} - m = \frac{1}{2} \cdot m^{2} - \frac{1}{2} \cdot m - m = \frac{1}{2} \cdot m^{2} - \frac{3}{2} \cdot m

Clemensum aktiv_icon

13:29 Uhr, 01.06.2012

Ohh, super, danke! Ich fühlte irgendwie, dass die Lösung (aus dem Lehrbuch) falsch sein müsste!

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