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Glatte Funktion konstruieren

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Tags: Differentialgeometrie, Differentiation, Funktion, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Integration, Stetigkeit

Bayro aktiv_icon

19:59 Uhr, 07.01.2020

Hallo Leute,

ich habe ein kleines Problem. Und zwar bin ich über eine etwas längere Aufgabe auf folgendes Problem gestoßen:

Ich habe eine Abbildung

f : R^{m} \to R

wie folgt:

f (x) = (\begin{matrix} 1; & | x | \leq r \\ h (x); & r < | x | \leq R \\ 0; & | x | > R \end{matrix}),

wobei

f (x)

glatt sein soll, also unendlich oft differenzierbar. Insgesamt sind meine Bedingungen:

h (| x | = r) = 1, h (| x | = R) = 0, h^{(n)} (| x | = r) = 0, h^{(n)} (| x | = R) = 0, n \in N, n > 0

.

Ich habe nun versucht über e-Funktionen und den Trigonometrischen Funktionen eine glatte Funktion

h (x)

zu definieren, sodass

f (x)

glatt ist, ich bin aber jedes mal gescheitert.

Meine Ansätze waren beispielsweise:

h (x) = c e x p (\frac{1}{a {| x |}^{2} + b}), h (x) = c e x p (a {| x |}^{2} + b), h (x) = \frac{1 + cos (a | x | + b)}{2}

Dennoch waren alle unerfolgreich. Besonders letztere ist daran gescheitert, dass

h^{(n)} (r) = 0

nicht erfüllt war. Daher würde ich gerne wissen, wie ihr bei einer zu konstruierenden glatten Funktion vorgeht.

Freundliche Grüße, Bayro

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Bayro aktiv_icon

20:32 Uhr, 08.01.2020

Ich habe es nun weiterversucht und bin mir nun einem Problem bewusst geworden:

Die Glockenfunktionen sind für mich unbrauchbar. Ich hatte immer das Maximum auf

| x | = r

gelegt und die Glocke dann auf den Wert eins gestreckt. Glocken sind aber immer konkav. Dadurch war ab der zweiten Ableitung die Bedingung

h^{(n)} (| x | = r)

nicht mehr erfüllt. Ich hatte dann die Idee die ganze Glocke ins Intervall zu legen. Dadurch wird aber

h (| x | = r) = 0

. Somit hatte ich überlegt wie folgt die Funktion

h (x)

aufzubauen:

h (x) = g (x) + j (x)

wobei

g (x)

eben eine glatte Glocke ist, die sowohl bei

| x | = r

und als auch bei

| x | = R

null wird, und auch alle Ableitungen an diesen beiden Punkten null sind. Die ist leicht zu konstruieren. Nun habe ich mit

j (x)

aber nun dasselbe Problem wie am Anfang mit

h (x)

. Somit habe ich die ganzen Glockenfunktionen nun ignoriert.

Ich brauche eine glatte Funktion für

h (x),

welche zwei Sattelpunkte besitzt. Dann kann die Funktion so strecken und verschieben, dass sie in mein Intervall passt. Habt ihr eine Idee, welche da nehmen könnte?

Und vielleicht eine triviale Frage: Wäre ein Polynom fünften Grades mit zwei Sattelpunkten eine mögliche glatte Funktion, welche unendlich oft differenzierbar ist? Irgendwann würde man ja dann nur noch die null differenzieren.

HAL9000

09:43 Uhr, 09.01.2020

Eine Möglichkeit, dir aber vielleicht wg. des Integrals nicht "explizit" genug: Man betrachte

g (x) = \exp (- \frac{1}{(R - x) (x - r)})

für

r < x < R

, sonst Null

Mit

C := \int_{r}^{R} g (t) d t

hat dann

h (x) = 1 - \frac{1}{C} \int_{r}^{x} g (t) d t

alle von dir gewünschten Eigenschaften.

Ansonsten kannst du dir hier

de.wikipedia.org/wiki/Testfunktion

ja noch weitere Anregungen holen hinsichtlich unendlich oft differenzierbarer Funktionen mit kompakten Träger.

EDIT: Das war jetzt für m=1, für größere

m

kannst du das ja geeignet übertragen.

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