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Gleichgewichtsfunktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Gleichgewicht, Knoten, Numerik

Stochastikerin

11:27 Uhr, 25.01.2022

Zur näherungsweisen Berechnung des Integrals I

[f] = \int_{- 1}^{1} f (x) w (x) d x

mit einer positiven und geraden Gleichgewichtsfunktion

w (d . h

w (x) = w (- x)

für alle

x \in [- 1,1])

wird die (m+1)-stufige Quadraturformel

Q_{m} [f; w] = \sum_{i = 0}^{m} w_{i} f (x_{i})

mit symmetrischen Knoten,

d . h

x_{m - i} = - x_{i}, i = 0, ..., m

und Exaktheitsgrad

q = = m

betrachtet.

(a)

Zeigen Sie, dass auch die Gewichte symmetrisch sind, also

w_{m - i} = w_{i}, i = 0, ..., m

gilt.

(b)

Bstimmen Sie zur Gleichgewichtsfunktion

w (x) = 1 - x^{2}

die Gewichte

Q_{3} [\cdot, w],

falls die Knoten

{- 1, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 1}

vorgegeben sind.

- -

So, ich bin neu in dem Thema und habe erstmal ein paar Verständnisfragen.

- Was ist eine Gleichgewichtsfunktion? Hat diese (wie hier) die Eigenschaft der Symmetrie von

- 1, 1

(Wie zum Beispiel die Funktion

f (x) = x^{2}

(wobei diese ja auch außerhalb des Intervalls symmetrisch ist), oder hat diese noch weitere Eigenschaften?

- Die Quadraturformel ist eine Formel, um das Intervall näherungsweise zu bestimmen, oder?

- Was bedeutet in dem Zusammenhang (m+1)-stufige (Weil die Summe bis

m

geht und ab

0 (m + 1)

startet?

- Was sind Gewichte? Und wie ist zu zeigen, dass diese symmetrisch sind?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Stochastikerin

22:30 Uhr, 25.01.2022

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Stochastikerin

10:25 Uhr, 26.01.2022

push

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10:46 Uhr, 26.01.2022

"- Was ist eine Gleichgewichtsfunktion?"

Das kommt auf den Kontext an.

"Hat diese (wie hier) die Eigenschaft der Symmetrie von −1,1 (Wie zum Beispiel die Funktion f(x)=x2 (wobei diese ja auch außerhalb des Intervalls symmetrisch ist), oder hat diese noch weitere Eigenschaften?"

Nein, nicht unbedingt. Was du "Symmetrie" nennst, heißt "gerade Funktion". Und es wird hier explizit gefordert. Aber allgemein muss

w

nicht gerade sein. Sie ist es nur hier.

"- Die Quadraturformel ist eine Formel, um das Intervall näherungsweise zu bestimmen, oder?"

Du meinst wohl "Integral". Dann ja.

"- Was bedeutet in dem Zusammenhang (m+1)-stufige (Weil die Summe bis m geht und ab 0(m+1) startet?"

Das heißt halt so, bei

m + 1

Knoten ist es

m + 1

-stufig.

"- Was sind Gewichte? Und wie ist zu zeigen, dass diese symmetrisch sind?"

Zahlen.
Es gilt

w_{i} = w (x_{i})

. Also haben

w_{m - i} = w (x_{m - i}) = w (- x_{i}) = w (x_{i}) = w_{i}

, weil

w

gerade ist.

Stochastikerin

10:57 Uhr, 26.01.2022

Danke :-)

Kannst du mir bei den Gewichten helfen? Da verliere ich noch ein wenig den Überblick. Wie genau sind diese zu zeigen (Aufgabenteil

a)

Mir geht es dabei nicht um eine Lösung (Das Blatt dient zum Lernen, nicht zum Abgeben) sondern vielmehr darum, wie diese zu lösen ist (Rechenweg)

/

Aufgabenteil

b

analog

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11:04 Uhr, 26.01.2022

Ich hab dir doch a) gerade gezeigt. :-O

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11:06 Uhr, 26.01.2022

Aber ich ging davon aus, dass

w_{i} = w (x_{i})

. Mir erscheint es die einzig logische Wahl, aber streng genommen sind

w_{i}

bei dir gar nicht definiert.

Stochastikerin

11:12 Uhr, 26.01.2022

Sorry, das habe ich entweder überlesen gehabt, oder du hast es reineditiert :-) Danke! Ich kommentiere, sobald ich dazu komme

Stochastikerin

14:28 Uhr, 26.01.2022

Okay, das habe ich verstanden, bin nun eine Aufgabe weiter.

(a)

steht oben auf dem Screenshot

Meine Frage: Woher stammen die gelbmarkierten Bedingungen?

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14:47 Uhr, 26.01.2022

Das wird halt berechnet. Nimm die Definition von

I [p]

und

Q [p]

und setze dort

p = 1

bzw.

p = x

ein.

Stochastikerin

14:59 Uhr, 26.01.2022

Kurz nach dem Post habe ich es selbst entdeckt.

Eine letzte Frage zur Bestimmung des Exaktheitsgrades

a)

Der Exaktheitsgrad von

Q

beträgt mindestens 2 (grün markiert), weil wir bis

w_{2}

exakt bestimmen konnten, oder? (Und der Index hier den Exaktheitsgrad angibt)

\to

Was ist eine ungerade Funktion? Auf dem Bild oben drüber ist

\sqrt{x} x

ebenfalls eine ungerade Funktion.
Woher stammt dann die Bedingung, dass

Q (p) = I (p)

?

Und woher stammen bei den ersten 3 Bestimmungen (siehe vorheriges Bild) überhaupt die Bedingungen, dass

Q (p) =^{!} I (p)

?

Ich verstehe die ganzen Rechnungen und kann diese auch nachvollziehen, aber noch nicht den ganzen Sinn dahinter.

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15:16 Uhr, 26.01.2022

"Der Exaktheitsgrad von Q beträgt mindestens 2 (grün markiert), weil wir bis w2 exakt bestimmen konnten, oder?"

Der Exaktheitsgrad

n

bedeutet, dass die Quadraturformel für alle Polynome vom Grad

\leq n

genau das Integral liefert. Im Fall

n = 2

bedeutet es, dass Polynome

1

x

und

x^{2}

die Formel gleich dem Integral ist. Und dass

w_{1}, w_{2}, w_{3}

bestimmt werden können, bedeutet genau das.

"Was ist eine ungerade Funktion?"

Dafür hast du Google.

"Und woher stammen bei den ersten 3 Bestimmungen (siehe vorheriges Bild) überhaupt die Bedingungen, dass Q(p)=!I(p)?"

Ich weiß nicht, was dieses

!

über dem

=

bedeutet.

Stochastikerin

15:33 Uhr, 26.01.2022

Ich vermute, dass das Ausrufezeichen lediglich ein "das muss gelten/das gilt" bekräftigt. Eben, dass die Gleichung gilt. Wieso gilt die aber?

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16:03 Uhr, 26.01.2022

Ach so, jetzt verstehe ich.

! =

bedeutet, dass wir es verlangen.
Das heißt, wir suchen

w_{i}

so, dass es aufgeht. Und wenn es aufgeht, schreien wir Hurra. :-)

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