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Gleichgewichtspunkte

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Maike89 aktiv_icon

12:14 Uhr, 11.06.2019

Hallo,
wie löse ich diese Aufgabe? Kann mir bitte jemand helfen die zu lösen.?
Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DerDepp aktiv_icon

00:23 Uhr, 12.06.2019

Hossa :-)

Betrachte folgende Umformung:

(\begin{array}{c} y_{0} \\ y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}) := (\begin{array}{c} r \\ r^{'} \\ φ \\ φ^{'} \end{array}) \Rightarrow \frac{d}{d t} (\begin{array}{c} y_{0} \\ y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} r^{'} \\ r^{''} \\ φ^{'} \\ φ^{''} \end{array}) = (\begin{array}{c} y_{1} \\ \frac{1}{1 + μ} (y_{0} y_{3}^{2} + {\cos y}_{2} - μ) \\ y_{3} \\ - \frac{1}{y_{0}} (2 y_{1} y_{3} + {\sin y}_{2}) \end{array})

Diese DGL brauchst du nicht zu lösen, weil nur nach den Werten von

μ

für die Gleichgewichtspunkte gefragt ist. Im Gleichgewicht ändern sich die 4 Komponenten

y_{i}

nicht, d.h. die Ableitung des 4er-Vektors nach der Zeit muss gleich dem

\vec{0}

-Vektor sein:

y_{1} = 0

y_{3} = 0

\frac{1}{1 + μ} (y_{0} y_{3}^{2} + {\cos y}_{2} - μ) = 0 \Leftrightarrow {\cos y}_{2} - μ = 0 \Leftrightarrow μ = {\cos y}_{2}

- \frac{1}{y_{0}} (2 y_{1} y_{3} + {\sin y}_{2}) = 0 \Leftrightarrow {\sin y}_{2} = 0 \Leftrightarrow y_{2} = ℤ \cdot π

μ = \cos (ℤ \cdot π) \geq 0

sein muss, gibt es nur für

μ = 1

Gleichgewichtspunkte, d.h. die beiden Massen müssen gleich groß sein:

M = m

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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