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Gleichgewichtsverteilung

Schüler Gymnasium,

Tags: Gleichgewichtsverteilung, Übergangsmatritzen

Jana203 aktiv_icon

19:17 Uhr, 24.02.2013

Hallo,

ich hoffe ihr könnt mir bei folgender Aufgabe helfen:

Die Zahnpastamarken

A, B

und

C

haben den Markt erobert.
Die Kunden wechseln jedoch bei jedem Kauf die Marke,
wie in der Tabelle angegeben Geben Sie die
Übergangsmatrix A für den Prozess an und bestimmen Sie
eine Gleichgewichtsverteilung für die Käuferanteile.

Die Matrix habe ich schon aufgestellt:

A = (\begin{matrix} 0 & 0,3 & 0,5 \\ 0,6 & 0 & 0,5 \\ 0,4 & 0,7 & 0 \end{matrix})

Stabile Verteilung:

A \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})

LGS aufstellen und umformen, sodass gilt:

- x_{1} + 0,3 \cdot x_{2} + 0,5 \cdot x_{3} = 0

0,6 \cdot x_{1} - x_{2} + 0,5 \cdot x_{3} = 0

0,4 \cdot x_{1} + 0,7 \cdot x_{2} - x_{3} = 0

Wenn ich sonst die stabile Verteilung berechnet habe, hatte ich noch eine Geamtanzahl, also in diesem Fall die Gesamtanzahl der Käufer gegeben. Deshalb habe ich immer noch eine Zeile zum LGS dazugemacht, nämlich:

x_{1} + x_{2} + x_{3} =

Gesamtanzahl
Dann hatte ich genug Informationen, hab das in den Taschenrechner eingegeben und war fertig. Das geht hier ja jetzt leider nicht. Ich weiß, dass es da irgendeine Methode gibt, bei der man einen x-Wert durch

t

ersetzt, allerdings verstehe ich das überhaupt nicht und morgen schreibe ich meine Vorabiturklausur...

Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt :-)

Liebe Grüße Jana

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Nova12 aktiv_icon

20:18 Uhr, 24.02.2013

Ersetz die

x_{3}

Koordinate durch einen Parameter und gib

x_{1}

und

x_{2}

in Abhängigkeit von diesem Parameter an.

Hier wären das

z . b

x_{1} = \frac{65}{82} \cdot t

x_{2} = \frac{80}{82} \cdot t

x_{3} = t

Da wir ja wissen wollen wie sich die Anteile verteilen lösen wir einfach diese Gleichung.

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1

(Damit kriegen wir die Spalten der Grenzmatrix, die der prozentualen Verteilung entsprechen)

also:

\frac{65}{82} \cdot t + \frac{80}{82} \cdot t + \frac{82}{82} \cdot t = 1

\frac{227}{82} \cdot t = 1

t = 0,36123348

Das setzt du jetzt bei

x_{1}, x_{2}

und

x_{3}

ein und du bekommst folgendes:

(\begin{matrix} 0,286 \\ 0,352 \\ 0,362 \end{matrix})

. Das ist jetzt eine Spalte der Grenzmatrix und die kannst du so interpretieren: Langfristig sind

28,6 %

bei

A, 35,2 %

bei

B

und

36,2 %

bei C.

Jana203 aktiv_icon

20:30 Uhr, 24.02.2013

Danke für deine Antwort!

Ich habe das mit dem Parameter

t

mit der Abhängigkeit immer noch nicht verstanden.

Aber man kann auch einfach

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1

als 4. Zeile zu dem LGS hinzufügen? Ich hab das jetzt in den Taschenrechner eingegeben und die gleichen Werte raus. Wieso kann man das machen?

Nova12 aktiv_icon

20:35 Uhr, 24.02.2013

Wenn du die Übergangsmatrix unendlich mal mit sich selbst multliplizierst bekommst du die Grenzmatrix.

Jana203 aktiv_icon

20:37 Uhr, 24.02.2013

Die Grenzmatrix ist die Übergangsmatrix?

Nova12 aktiv_icon

20:41 Uhr, 24.02.2013

Wenn du die Übergangsmatrix unendlich mal mit sich selbst multliplizierst bekommst du die Grenzmatrix (Falls für die Übergangsmatrix eine existiert). Wenn keine Grenzmatrix existiert, dann existiert auch keine stabile Verteilung.

Edit// hab den Post darüber ausversehen editiert mit dem Text.

\land

Jana203 aktiv_icon

20:44 Uhr, 24.02.2013

Okay, vielen Dank!

Nova12 aktiv_icon

20:47 Uhr, 24.02.2013

Noch ein kleiner Zusatz.

Weiß nicht ob ich das eben klar gemacht habe.

Wenn du die Grenzmatrix mit irgendeiner Verteilung mulitplizierst, bekommst du automatisch die stabile Verteilung raus. Wenn du

(\begin{matrix} 500 \\ 300 \\ 100 \end{matrix})

mit der Grentmatrix multiplizierst kriegst du als Ergebnis die stabile Verteilung für diese

900

Leute raus.

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