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Gleichgewichtsverteilung bei Matrizen berechnen

Schüler Gymnasium,

Tags: Fixvektor, Gelichgewichtsverteilung, Matrizen

sue12345 aktiv_icon

05:53 Uhr, 13.02.2012

Wie die Gleichgewichtsverteilung beo Matrizen berechen ?
Also, ich habe hier ein normales Gleichungssystem aufgestellt.
Bei der Aufgabe geht es darum die Gleichgewichtsverteilung zwischen zwei Kinobesuchergruppen zu ermittel.
Insgesamt sollen es

360

Kinobesucher sein.

Von dem Kino A wechseln

50 %

zu Kino

B

und

50 %

kommen wieder.
Von dem Kino

B

wechseln

40 %

zu Kino A und

60 %

kommen wieder.

Die Übergangsmatrix

P

ist dannn wie folgt:

P = 0,5 0,4

0,5 0,6

Dann lege ich fest:

x 1 =

Besucher von A

x 2 =

Besucher von

B

und multipiziere das ganze mit meiner Übergangsmatrix

P :

0,5 0,4 \cdot x 1 = 0,5 \cdot x 1 + 0,4 \cdot x 2

0,5 0,6 x 2 0,5 \cdot x 1 + 0,6 \cdot x 2

Das ganze kommt in ein lineares Gleichungssystem

0,5 \cdot x 1 + 0,4 \cdot x 2 = x 1 | - x 1

0,5 \cdot x 1 + 0,6 \cdot x 2 = x 2 | - x 2

- 0,5 \cdot x 1 + 0,4 \cdot x 2 = 0

0,5 \cdot x 1 - 0,4 \cdot x 2 = 0

Wenn ich die untere Gleichung nach

x 2

auflöse

- \to x 2 = \frac{5}{4} \cdot x 1

und diese dann in die obere Gleichung einetze, erhalte ich

- 0,5 \cdot x 1 + 0,4 \cdot x 2 = 0

0,5 \cdot x 1 - 0,4 \cdot (\frac{5}{4} \cdot x 1) = 0

0,5 \cdot x 1 - 0,5 \cdot x 1 = 0 | + 0,5 x 1

x 1 = x 1

und für

x 2 = \frac{5}{4} \cdot x 1

Also zusammenfasend

x 1 = x 1

x 2 = \frac{5}{4} \cdot x 1

Da ich hier nicht mehr weiterkam habe ich die Aufgabe gegooglet, und tatsächlich eine Seite gefunden wo der Rechenweg steht.
Hier ist die Quelle:
http//www.gbraemik.de/fvs/13Mathe/Uebungsaufgaben-Uebergangsmatrizen-1+Loesungen.pdf
Zur Orientierung:
Es ist die 1. Aufagabe und die Lösung steht auf Seite 3 des pdf-dokuments

x 1 = 1 \cdot x 1

x 2 = \frac{5}{4} \cdot x 1

An einer Stelle werden die Werte 1 und

\frac{5}{4}

\frac{4}{9}

und

\frac{5}{9}

umgerechnet.
Ich frage mich welcher Rechenweg dahinter steckt, also wie und warum das so gerechnet wurde.
Mir leutet zwar ein, dass somit die Gleichgewichtsverteilung gefunden wurde, jedoch frag ich mich wo diese Zahlen herkommen ?

Ich freue mich auf jede Rückmeldung!
Danke im voraus für Eure Hilfe!

LG Sue