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Gleichgradige Stetigkeit

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: gleichgradige stetigkeit, Stetigkeit

nellezing aktiv_icon

14:15 Uhr, 16.05.2009

Hallo!

Für welche

a > 0

ist

A = {t^{n} : n

ℕ \cup {0}} \subset [- a, a]

gleichgradig stetig?

Ich denke ja, dass gleichgradig das selbe ist wie gleichmäßig.
Ich würde hier auch mit der

ε - δ -

Charakterisierung rangehen.
Also so in der Art:

| t_{1}^{n} - t_{2}^{n} | \leq ε

für

| t_{1} - t_{2} |

Aber an der Stelle komm ich dann nicht weiter...

bitte helft mir!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

pepe1 aktiv_icon

01:16 Uhr, 17.05.2009

Zu:..Ich denke ja, dass gleichgradig das selbe ist wie gleichmäßig...
Keineswegs.
siehe

z

B :

de.wikipedia.org/wiki/Gleichgradige_Stetigkeit

MfG

nellezing aktiv_icon

07:41 Uhr, 17.05.2009

ach so ist das..aber wie wirkt sich das jetz auf meinen ansatz aus, ist der überhaupt richtig?

pepe1 aktiv_icon

10:30 Uhr, 17.05.2009

Ein paar Hinweise, Überlegungen und Fragen vorweg:

1 .)

"gleichmäßig" bezieht sich auf

x;

"gleichgradig" auf

n .

2 .)

f_{n}

glchgrad. stetig an der Stelle

x_{0} \Leftrightarrow

Zu jedem

ε > 0

existiert ein

δ > 0,

sodaß für alle

f_{n}; n \in ℕ

gilt:

| x - x_{0} | < δ \to | f (x) - f (x_{0}) | < ε

Fragen:
Welcher Unterschied besteht zur "üblichen" Stetigkeitsdefinition?
Wovon hängt

δ

ab bei der "üblichen" Stetigkeitsdefinition, wovon das

δ

dei einer bel. Funktionenfolge, wovon bei der Stetigkeitsdefinition einer gleichgradig stetigen Funktionenfolge?

3 .)

Skizziere einige Graphen von

f_{n} (x) = x^{n}

Was fällt auf für

f_{n}, x \in] - 1; 1 [

,und

f_{n}

außerhalb dieses Bereichs?

4.)Für welche

a > 0

ist

A = {x_{n} : n \in ℕ

vereinigt

{0}}

für

x \in [- a, a]

gleichgradig stetig?
Vermutung?

Beweis (ggf.)heute später.

MfG

nellezing aktiv_icon

11:25 Uhr, 17.05.2009

also was mir beim skizzieren auffällt, ist dass innerhalb von

) - 1,1 (

bei steigendem

n

sich die funktionen der

x

achse annähern.
außerhalb des intervalls nähern sie sich

x = - 1

und

x = 1

an

bei der stetigkeit hängt doch

δ

von

x

und

ε

ab
und bei gleichgradiger dann von

n

meine vermutung wäre ja

a = 1

pepe1 aktiv_icon

15:48 Uhr, 17.05.2009

bei der "üblichen" Stetigkeitsdefinition:

δ

hängt

i . a

. von

x

und

ε

ab

bei einer bel. Funktionenfolge:

δ

hängt

i . a

. ab von

x, ε

und

n

ab

bei einer gleichgradig stetigen Funktionenfolge:

δ

hängt

i . a

. ab von

x, ε,

jedoch nicht

!!

von

n

(vom "Grad"

n :

Bezeichnung: "gleichgradige" Stetigkeit)

Die Graphen lassen vermuten, daß außerhalb von

] - 1; 1 [

keine gleichgradige Stetigkeit
besteht, daß "wegen des starken Anstiegs" mit wachsendem

n

das

δ

nicht von

n

unabhängig sein wird.
Für

x \in] - 1; 1 [

verlaufen die Graphen der gegebenen Funktionenfolge "immer flacher" mit wachsendem

n .

Vermutung: Für

x \in] - 1; 1 [:

gleichgradige Stetikeit
zu zeigen: Für

x \in] - 1; 1 [

hängt das (zu einem bel. vorgegebenem

ε

zu bestimmende

) δ

von

x,

von

ε,

aber nicht von

n

ab.

Frage: Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Differenz zweier Funktionswerte und der Differenz der Argumente?
Wir müssen ja

| x^{n} - x_{0}^{n} |

mittels

| x - x_{0} |

abschätzen.

Bis später.

MfG

pepe1 aktiv_icon

19:13 Uhr, 17.05.2009

Zur letzten Frage: MWS (Mittelwertsatz)

Zum Beweis:

vorbereitende Hilfsmittel:
1.)Für

a \in] - 1; 1 [

gilt:

a) lim_{n \to \infty} a^{n} = 0

b) lim_{n \to \infty} n \cdot a^{n - 1} = 0

c)Es existiert zu a eine reelle Konstante

1 \leq K_{a}

mit

n \cdot a^{n - 1} \leq K_{a}

a)und

b)

folgen aus der Konvergenz der geom. Reihe und ihrer Ableitungsreihe.

\sum_{n = 0}^{\infty} a^{n} = \frac{1}{1 - a}

und

\sum_{n = 0}^{\infty} n \cdot a^{n - 1} = \frac{1}{{(1 - a)}^{2}}; | a | < 1

Notwendige Bedingung für Konvergenz

c)

Wegen b)gibt es eine obere Schranke

S_{a} > 0

mit

| n \cdot a^{n - 1} | \leq S_{a}

Wähle nun

K_{a} = max {1; S_{a}}

Der eigentliche Beweis:

Sei

a \in] 0; 1 [

beliebig gewählt. Sei

J_{a} = [- a; a]

Beh:

f_{n} (x) = x^{n}

ist an jeder Stelle

x_{0} \in J_{a}, a \in] 0; 1 [,

gleichgradig stetig.

Zu

ε > 0

wählen wir

δ (ε; x_{0}) : = min {a - x_{0}; a + x_{0}; \frac{ε}{K_{a}}},

[

Zu:

a - x_{0}; a + x_{0}

Vorsichtsmaßnahme, daß

x_{0}

und

x

noch in

] - a; a [

sind.

]

Mit einem

\bar{x_{0}} \in] x_{0}, x [(

bzw.

] x; x_{0} [

)erhalten wir mit dem MWS:

| f_{n} (x) - f_{n} (x_{0}) | = n \cdot {| \bar{x_{0}} |}^{n - 1} \cdot | x - x_{0} | \leq n \cdot a^{n - 1} \cdot | x - x_{0} | \leq K_{a} \cdot | x - x_{0} | \leq ε

für

| x - x_{0} | \leq δ (ε; x_{0})

Da das konstruierte

δ (ε; x_{0}

)nicht von

n \in ℕ

abhängt, ist hiermit die gleichgradige Stetigkeit der Funktionenfolge für jedes

J_{a} = [- a; a]

mit

0 < a < 1

gezeigt.

Eine entsprechende Abschätzung:

| f_{n} (x) - f_{n} (x_{0}) | = n \cdot {| \bar{x_{0}} |}^{n - 1} \cdot | x - x_{0} | \geq n \cdot | x - x_{0} |; | \bar{x_{0}} | \geq 1

zeigt, daß in

[1; \infty [

und

[- \infty; - 1]

gleichgradige Stetigkeit nicht vorliegen kann.

qed

MfG

nellezing aktiv_icon

19:56 Uhr, 17.05.2009

wow ich bin begeistert..dankeschön!

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