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Gleichheit Menge mit lp Raum zeigen

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Funktionalanalysis

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Funktionenfolgen

Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Funktionenfolgen, Raum

Alnura aktiv_icon

18:33 Uhr, 19.04.2019

Man definiere für

k \in ℕ

die Mengen

M_{k} := {a \in l^{p} | a_{n} = 0

für ale

n > k}

und

M := ⋃_{k = 1}^{\infty}

[

für

p \in [1, \infty) l^{p} = {a \in ℂ : {| | a | |}_{p} = {(\sum_{n = 1}^{\infty} {| a_{n} |}^{p})}^{\frac{1}{p}} < \infty}]

Nun soll ich zeigen, dass

\bar{M} = l^{p}

gilt. Dass

l^{p} \subseteq \bar{M}

gilt habe ich zeigen können, aber bei der Richtung

\bar{M} \subseteq l^{p}

bin ich mir unsicher. Ist es so einfach, dass ich es aus der Definition folgern kann, weil

M_{k} \subseteq l^{p}

gilt für alle

k \in ℕ

und somit ja auch

M \subseteq l^{p},

aber reicht das um zu sagen, dass auch der Abschluss

\bar{M}

eine Teilmenge von

l^{p}

ist?
Außerdem frage ich mich wie es im Fall

p = \infty

aussieht, dann hat man

l^{\infty} := {a \in ℂ :

Sup

| a_{n} | < \infty},

gilt die selbe Gleichheit?
Vielen Dank für jeden Tipp und LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

pwmeyer aktiv_icon

19:13 Uhr, 19.04.2019

Halllo,

ja es ist einfach so, dass aufgrund der Definition

M \subset l^{p}

ist und damit auch

\bar{M} \subseteq l^{p}

.

Für

l^{\infty}

ist

l^{\infty} \subseteq \bar{M}

falsch.

Gruß pmw

Alnura aktiv_icon

19:45 Uhr, 19.04.2019

Vielen Dank für die Antwort. Ich habe mir nun Gedanken gemacht, welche Folge beispielhaft in

l^{\infty}

enthalten ist, aber nicht in

\bar{M}

. Mein Probelm dabei: Wenn ich eine Folge

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

im Raum

l^{\infty}

habe, definiere ich mir eine Folge

{({(b_{k, n})}_{n \in ℕ})}_{k \in ℕ}

mit

b_{k, n} = a_{n}

wenn

n \leq k

und

b_{k, n} = 0

sonst. Die Folge

{(b_{k, n})}_{n \in ℕ}

ist also für alle

k

in der Menge

M_{k}

enthalten und die Folge

{({(b_{k, n})}_{n \in ℕ})}_{k \in ℕ}

konvergiert gegen meine Folge

{(a_{n})}_{n \in ℕ},

somit ist

{(a_{n})}_{n \in ℕ} \in \bar{M}

Oder habe ich da einen Denkfehler? Vielen Dank und VG

pwmeyer aktiv_icon

23:00 Uhr, 19.04.2019

Hallo,

wie siehts denn da mit der Folge

a_{n} := 1

aus?

Gruß pwm

Alnura aktiv_icon

12:54 Uhr, 20.04.2019

Also, dass die Folge

{(a_{n})}_{n \in ℕ} \in l^{\infty}

liegt ist klar, weil ja Sup

| a_{n} | = 1 < \infty

Nun kann ich mir doch aber eine Folge von Folgen definieren, von der das jeweils k-te Glied in

M_{k}

und somit in

M

liegt, sodass diese Folge gegen

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

konvergiert und somit im Abschluss

\bar{M}

liegen muss indem ich setzte:

{({(b_{k, n})}_{n \in ℕ})}_{k \in ℕ}

mit

b_{k, n} = 1,

wenn

n \leq k

und

b_{k, n} = 0

sonst.
Vielen Dank und LG

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