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Gleichheit der Dreiecksungleichung vom d_2 in IR^n

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Dreiecksungleichung, Vektorraum

Penta aktiv_icon

15:41 Uhr, 09.04.2016

Ich soll feststellen, für welche

y

die Gleichheit

d_{2} (x, z) = d_{2} (x, y) + d_{2} (y, z)

gilt, wobei

d_{2}

der Euklidische Abstand in IR^n ist.

Wenn ich es mir für IR^2 vorstelle, dann gilt das, wenn alle drei Vektoren auf einer Gerade liegen. Wie drücke ich das jetzt am besten aus bzw. wie beweise ich die Gleichheit?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Dreiecke und Kongruenz

mihisu aktiv_icon

22:24 Uhr, 09.04.2016

Du hast fast recht.

Es reicht nicht wenn die Vektoren auf einer Geraden liegen. Zusätzlich muss

y

zwischen den Punkten

x

und

z

liegen.

Gegenbeispiel im eindimensionalen Fall:

y = 1

x = 2

z = 3

(Hier liegt

y

nicht zwischen

x

und

z .)

d_{2} (x, z) = 1 \neq 3 = 1 + 2 = d_{2} (x, y) + d_{2} (y, z)

\\\\

Es muss also

y

auf der Verbindungsstrecke von

x

und

z

liegen:

y \in [x, z]

bzw.

\exists λ \in [0, 1] : y = (1 - λ) \cdot x + λ \cdot z

\\\\

Zum Beweis:

d_{2} (x, z) = d_{2} (x, y) + d_{2} (y, z)

\sqrt{{(x - z)}^{2}} = \sqrt{{(x - y)}^{2}} + \sqrt{{(y - z)}^{2}}

Das lässt sich umformen, so dass man darauf kommt, dass Gleichheit genau dann herrscht, wenn gilt:

(x - y) \cdot (y - z) = \sqrt{{(x - y)}^{2}} \cdot \sqrt{{(y - z)}^{2}}

Insbesondere muss nun

(x - y) \cdot (y - z) \geq 0

sein. Daraus bekommst du dann am Ende, dass

y

zwischen

x

und

z

liegen muss.

Evtl. erkennst du auch die Cauchy-Schwarz-Ungleichung. Bei der Cauchy-Schwarz-Ungleichung

| (x - y) \cdot (y - z) | \leq \sqrt{{(x - y)}^{2}} \cdot \sqrt{{(y - z)}^{2}}

gilt genau dann Gleichheit, wenn

x - y

und

y - z

linear abhängig sind. So erhält man, dass

x, y, z

auf einer Geraden liegen müssen.

Penta aktiv_icon

22:50 Uhr, 09.04.2016

Kannst du die Umformung erläutern, das verstehe ich nicht, also das was nach "Das lässt sich umformen..."steht. Auch ist mir unklar, wieso du sofort folgern kannst, dass

y

zwischen den beiden liegt, wenn das innere Produkt da größer gleich 0 ist.

mihisu aktiv_icon

23:14 Uhr, 09.04.2016

Ich habe mal ein paar Zwischenschritte aufgeschrieben:

\sqrt{{(x - z)}^{2}} = \sqrt{{(x - y)}^{2}} + \sqrt{{(y - z)}^{2}}

\Leftrightarrow {(x - z)}^{2} = {(\sqrt{{(x - y)}^{2}} + \sqrt{{(y - z)}^{2}})}^{2}

\Leftrightarrow {(x - z)}^{2} = {(x - y)}^{2} + 2 \cdot \sqrt{{(x - y)}^{2}} \cdot \sqrt{{(y - z)}^{2}} + {(y - z)}^{2}

\Leftrightarrow {((x - y) + (y - z))}^{2} = {(x - y)}^{2} + 2 \cdot \sqrt{{(x - y)}^{2}} \cdot \sqrt{{(y - z)}^{2}} + {(y - z)}^{2}

\Leftrightarrow {(x - y)}^{2} + 2 \cdot (x - y) \cdot (y - z) + {(y - z)}^{2} = {(x - y)}^{2} + 2 \cdot \sqrt{{(x - y)}^{2}} \cdot \sqrt{{(y - z)}^{2}} + {(y - z)}^{2}

\Leftrightarrow 2 \cdot (x - y) \cdot (y - z) = 2 \cdot \sqrt{{(x - y)}^{2}} \cdot \sqrt{{(y - z)}^{2}}

\Leftrightarrow (x - y) \cdot (y - z) = \sqrt{{(x - y)}^{2}} \cdot \sqrt{{(y - z)}^{2}}

Penta aktiv_icon

23:14 Uhr, 09.04.2016

Auch ist mir unklar, wieso du sofort folgern kannst, dass

y

zwischen den beiden liegt, wenn das innere Produkt da größer gleich 0 ist.

mihisu aktiv_icon

23:53 Uhr, 09.04.2016

Ich habe geschrieben, dass man das "am Ende" folgern kann, also noch nicht direkt an der Stelle.

Wenn nun

(x - y)

und

(y - z)

linear abhängig sind, dann ist

x = y

oder

y - z = μ \cdot (x - y)

für ein

μ \in ℝ

. Im letzteren Fall folgt aus

(x - y) (y - z) \geq 0,

dass

μ {(x - y)}^{2} \geq 0,

also

μ \geq 0,

ist.

[

Hier sieht man nun schon, dass

x - y

und

y - z = μ \cdot (x - y)

in die gleiche Richtung zeigen, woran man schon erkennen kann, dass

y

zwischen

x

und

z

liegen muss.

]

Aus

y - z = μ \cdot (x - y)

folgt dann auch

y = \frac{1}{1 + μ} z + \frac{μ}{1 + μ} x

mit

μ \geq 0

. Setzt man nun

λ = \frac{1}{1 + μ}

erhält man

y = (1 - λ) x + λ \cdot z

mit

0 \leq λ \leq 1

. Damit hat man gezeigt, dass dann gilt:

y \in [x, z] = {(1 - λ) x + λ z \in ℝ^{n} | λ \in [0, 1]}

Penta aktiv_icon

16:39 Uhr, 10.04.2016

Eins noch: Wieso folgt aus

∃λ∈

[

0,1]: y=(1−λ)⋅x+λ⋅z

dass

y

zwischen

x

und

z

liegt?

Shipwater aktiv_icon

16:54 Uhr, 10.04.2016

Weil das eine Konvexkombination von

x

und

z

ist. Für

λ = 0

kommt

x

heraus, für

λ = 1

kommt

z

heraus und für

λ \in (0,1)

landest du eben zwischen

x

und

z

. Vielleicht hilft es dir, wenn du

(1 - λ) x + λ z = x + λ (z - x)

schreibst. Man addiert zu

x

also ein Vielfaches von

z - x

(Verbindungsvektor von

x

nach

z)

mihisu aktiv_icon

16:57 Uhr, 10.04.2016

Die Menge

{(1 - λ) \cdot x + λ \cdot z \in ℝ^{n} | λ \in [0, 1]}

beschreibt die Strecke

[x, z]

von

x

nach

z

.

Ich habe das von der Form her eher als konvexe Hülle von

x

und

z

geschrieben. (Die Konvexe Hülle zweier Punkte ist ihre Verbindungsstrecke.)
Evtl. sieht du besser, dass dies die Verbindungsstrecke beschreibt, wenn man

(1 - λ) \cdot x + λ \cdot z

als

x + λ (z - x)

schreibt. Man erkennt hier, dass für

λ \in ℝ

eine Gerade mit Aufpunkt

x

und Richtungsvektor

z - x

beschrieben werden würde. Da

λ

jedoch nicht aus ganz

ℝ

gewählt wird sondern nur aus

[0, 1],

erhält man nur den Streckenabschnitt mit Anfangspunkt

x

für

λ = 0

und Endpunkt

z

für

λ = 1

.

Nun ist also

y \in [x, z]

was umgangssprachlich bedeutet, dass

y

zwischen

x

und

z

liegt.

Penta aktiv_icon

17:18 Uhr, 10.04.2016

Ich möchte euch beiden danken, ich habe dieses Beispiel nun vollständig verstanden.

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