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Satz von Mertens (Cauchy-Produkt)

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Nickel123 aktiv_icon

14:28 Uhr, 30.09.2013

Moin,

ich will zum Beweis vom Satz von Mertens (Cauchy - Produkt) versuchen folgende Abschätzung zeigen

Behauptung.
Sei

n \in ℕ

und

N := ⌊ \frac{n}{2} ⌋

, so gilt

\sum_{k = 0}^{N} ∣ a_{k} ∣ \cdot ∣ B - B_{n - k} ∣ \leq max_{N \leq k \leq n} ∣ B - B_{k} ∣ \sum_{k = 0}^{N} ∣ a_{k} ∣ \overset{n \to \infty}{\to} 0

, wobei

(B_{k})_{k \in ℕ}

eine Folge ist mit

lim B_{k} = B

und

\sum_{k = 0}^{n} a_{k}

eine absolut konvergente Reihe ist.

Beweis.
(ich hab versucht den Beweis so präzise und kompakt wie möglich zu schreiben aber es kommt mir doch noch sehr langwierig vor. Wenn ich irgendwas verkürzen oder verbessern kann freue ich mich auf Anmerkungen)

Zunächst will ich die Abschätzung zwischen den Summen zeigen.

Ich konnte die Definition von

max_{N \leq k \leq n}

nicht finden, aber ich denke damit ist das gemeint:

max_{N \leq k \leq n} ∣ B - B_{k} ∣ = max M

, mit

M := {∣ B - B_{k} ∣ \in ℝ : N \leq k \leq n}

⌊ \frac{n}{2} ⌋ \leq n

(noch zu zeigen), ist

M

nicht leer. Also folgt aus dem Satz, dass es zu jeder nichtleeren Teilmenge aus R ein supremum gibt, dass das Supremum existiert.

Da M abzählbar ist, ist das Supremum das Maximum. (noch zu zeigen)

ich will also zeigen, dass mit

m_{n} := max_{N \leq k \leq n} ∣ B - B_{k} ∣

und

F := {∣ B - B_{n - k} ∣ \in ℝ : 0 \leq k \leq N}

gilt:

m_{n} \geq x

für alle

x \in F

.

Da

m_{n} \geq y

für alle

y \in M

reicht es aus zu zeigen, dass

F \subset M

.

Sei also

x \in F \overset{}{\Rightarrow} x = ∣ B - B_{n - j} ∣

mit

0 \leq j \leq N

.

Sei

σ : ℤ \to ℤ, i \mapsto n - i

, so folgt aus

0 \leq j \leq N

, dass

n \geq σ (j) \geq σ (N) := ⌈ \frac{n}{2} ⌉ .

(Dabei muss ich noch zeigen, dass

n - ⌊ \frac{n}{2} ⌋ = ⌈ \frac{n}{2} ⌉

).

Sei also

f := σ (i)

so gilt:

(x = ∣ B - B_{n - j} ∣

mit

0 \leq j \leq N) \Rightarrow (x = ∣ B - B_{f} ∣

mit

⌈ \frac{n}{2} ⌉ \leq f \leq n)

, da

⌈ \frac{n}{2} ⌉ \geq ⌊ \frac{n}{2} ⌋

folgt

x \in M

, also

F \subset M

.

ist das so erstmal richtig? Bzw kann ich das eleganter zeigen?

den Grenzübergang hab ich mir noch nicht überlegt. Wollte erstmal versuchen den ersten Teil gut zu zeigen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

09:55 Uhr, 01.10.2013

Hallo,

ich bin mir nicht sicher, ob ich alles verstanden habe. Aber für micht sieht es so aus:

\sum_{k = 0}^{N} | a_{k} | \cdot | B - B_{n - k} | \leq M \cdot \sum_{k = 0}^{N} | a_{k} |

mit:

M := max {| B - B_{n - k} | | k = 0, ..., N} = max {| B - B_{j} | | j = n - N, ..., n} \leq max {| B - B_{j} | | j = N, ..., n}

denn es gilt nach Definition

N \leq \frac{n}{2}

.

Gruß pwm

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