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Gleichheit zweier unabhängiger Funktionen

Schüler Oberstufenzentrum, 13. Klassenstufe

Tags: Funktion, gleich, konstant, unabhängig, Variablen

 
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Neutron7

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17:13 Uhr, 17.07.2019

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Hallo zusammen,

ich habe zwei Funktionen die von unterschiedlichen Variablen abhängig sind.

f(x) und g(y)

Ich weiß, dass beide Funktionen gleich sind.

f(x)=g(y)

Jetzt heißt es, dass wenn beide Funktionen gleich sind, beide Funktionen konstant sein müssen.

Das leuchtet mir nicht ganz ein.

Den Schluss von "Beide unabhängigen Funktionen sind gleich." zu "Beide Funktionen sind konstant." gelingt mir nicht.

Hat jemand einen Tipp, vielleicht auch einen Beweis?

Lieben Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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ledum

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20:00 Uhr, 17.07.2019

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Hallo
so wie du das schreibst ist es eigenartig, denn x und y haben ja wohl nichts miteinander zu tun. also vielleicht f(x,y) hängt nur von x also f(x,y)=h(x) ab, g(x,y) hängt nur von y ab? g(x,y)=k(y) und du hast h(x)-k(y)=0 oder falls k≠0 (sonst wäre ja auch h=0) also hxk(y)=1 für alle x,y aus dem Definitionsgebiet.
a) falls h(x)=konst folgt k(x)=konst,
b)h(x) ist nicht konstant, h(x1)=a folgt k(y)=a für alle y wegen hx_1)=k(y) ,h(x)=a
Gruß ledum
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HAL9000

HAL9000

16:20 Uhr, 19.07.2019

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Man muss wohl weiter ausholen, und das Problem auch besser beschreiben, um zu verstehen, was hier Sache ist:

Es geht anscheinend um zwei Funktionen f:X→Z sowie g:Y→Z mit nichtleeren Definitionsmengen X,Y, und die Voraussetzung ist wohl dass f(x)=g(y) für alle x∈X,y∈Y gilt.

Dann greifen wir uns einfach irgendein y0∈Y heraus und definieren c:=g(y0). Laut Voraussetzung gilt dann für alle x∈X ja f(x)=g(y0)=c, d.h. f ist die konstante Funktion mit Wert c. Das bedeutet wiederum nach Voraussetzung c=g(y) für alle y∈Y, also ist auch g die konstante Funktion mit Wert c - fertig,



Klingt primitiv, ist aber durchaus die Grundidee z.B. beim

de.wikipedia.org/wiki/Separationsansatz

zur Lösung mancher partieller Differentialgleichungen.
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