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Mengentheoretische Topologie

Tags: Gruppen, Mengentheoretische Topologie, Relation., Sonstig

mueschbrot aktiv_icon

19:34 Uhr, 29.04.2016

Guten Abend! :-)
Wir haben in unserer Übung eine Aufgabe, die lautet:

Zeige, dass die Menge aller durch

10

teilbaren ganzen Zahlen und die Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtig sind.

Im Grunde heißt das ja, dass ich jede natürliche Zahl auf das zehnfache einer ganzen Zahl abbilden kann.

ℕ \subset ℤ

um jetzt zu zeigen, dass alle

10 | ℤ ~ ℕ

brauche ich irg. einen Ansatz... Im Grunde muss es doch dann so sein, dass ich jedes

ℕ

auf

10 | ℤ

abbilden kann.

ℕ \to 10 | ℤ : f (x) = 10 x

Doch bei dieser Schreibweise habe ich das Problem, dass die ganzen negativen Zahlen nicht getroffen werden können. Kann ich das dann in 2 Fällen bearbeiten?

ℕ \to 10 | ℤ : f (x) = 10 x

ℕ \to 10 | ℤ : f (x) = 10 (- x)

Dann wäre es doch möglich den Weg über Surjektivität und Injektivität zu gehen. Wenn beides zutrifft, sind die Mengen bijektiv zueinander und das bedeutet, dass sie gleichmächtig sind oder?!
Mir fehlt einfach ein passender Ansatz. Hat da evtl. jemand eine gute Idee? :-)

Ich danke euch schon im Voraus!

Liebe Grüße
Mueschbrot

michaL aktiv_icon

20:30 Uhr, 29.04.2016

Hallo,

2 n \mapsto 10 n

2 n + 1 \mapsto - 10 n

Mfg Michael

mueschbrot aktiv_icon

15:09 Uhr, 30.04.2016

Ah okay! Ich habe das jetzt mal damit versucht und bin dann dazu gekommen:

10 ℤ ~ ℕ

f (n) = {10 n,

falls

n

gerade

{- 10 n,

falls

n

ungerade

1. fall für die Injektivität

f (n) = 10 n

f (n 1) = f (n 2)

10 n 1 = 10 n 2 | : 10

n 1 = n 2

2. Fall für die Injektivität

f (n) = - 10 n

f (n 1) = f (n 2)

- 10 n 1 = - 10 n 2 | : - 10

n 1 = n 2

1. Fall für Surjektivität

f (n) = 10 n

\exists w \in ℤ : w = f (n)

w = 10 n

\frac{w}{10} = n

Ich weiß nicht genau was ich nun hier sehen könnte..

2.Fall für Surjektivität

f (n) - 10 n

\exists w \in ℤ : w = f (n)

w = - 10 n

\frac{w}{- 10} = n

Ist mein Ansatz richtig oder liege ich komplett daneben???

Danke! :-)

ledum aktiv_icon

01:12 Uhr, 01.05.2016

warum arbeitest du nicht mit

2 n

und

2 n + 1

wie vorgeschlagen, dann werden die Argumente nicht so undurchsichtig.
und du kannst sofort sagen, welchse

n

7360

oder zu

- 1230

gehört.
Gruß ledum

Bummerang

04:14 Uhr, 01.05.2016

Hallo,

wie wäre es mit dieser Funktion:

f (n) = \frac{5}{2} \cdot ({(- 1)}^{n} \cdot (2 \cdot n + 1) - 1)

f (0) = 0

f (1) = - 10

f (2) = 10

f (3) = - 20

f (4) = 20

Die Umkehrabbildung dazu ist:

f^{- 1} (10 \cdot z) = 2 \cdot | z | + \frac{z + \frac{1}{2} - | z + \frac{1}{2} |}{2 \cdot | z + \frac{1}{2} |}

f^{- 1} (10 \cdot (- 2)) = 3

f^{- 1} (10 \cdot (- 1)) = 1

f^{- 1} (10 \cdot 0) = 0

f^{- 1} (10 \cdot 1) = 2

f^{- 1} (10 \cdot 2) = 4

mueschbrot aktiv_icon

10:22 Uhr, 01.05.2016

@Ledum: Wie würde das denn aussehen, wenn ich mit

2 n

und

2 n + 1

arbeiten würde?

@Bummerang: Würde ich nun damit zeigen, dass

10 ℤ ~ ℕ

ist?

ledum aktiv_icon

12:16 Uhr, 01.05.2016

Hallo
über beide Fragen solltest du erst mal selbst nachdenken.
wenn dir schon B. eine einzige gut definierte fkt angibt, warum überlegst du nicht, warum die das tut?
Gruß ledum

mueschbrot aktiv_icon

15:59 Uhr, 01.05.2016

Ich habe es mir jetzt noch einmal angeschaut und bin nur in teilen schlauer geworden (es tut mir total leid, dass ich da nicht hinter steige

q . q)

Ich weiß noch immer nicht, warum ich lieber mit

2 n

und

2 n + 1

arbeiten sollte, anstatt

10 n

und

- 10 n

zu nehmen...

Die Funktion von Bummerang besitzt ja eine Umkehrabbildung. Das bedeutet, dass sie bijektiv sein muss? Da diese Funktion die natürlichen Zahlen auf die ganzen, durch

10

teilbaren Zahlen abbildet bedeutet das doch dann, dass eine Bijektion vorliegt (wenn eben diese Umkehrabbildung existiert). Wenn etwas Bijektiv ist, dann muss es auf jeden Fall gleichmächtig zueinander sein?

Liebe Grüße

Mueschbrot

michaL aktiv_icon

17:35 Uhr, 02.05.2016

Hallo,

Bummerangs Idee ist recht elegant. Damit wird so manches einfacher, anderes aber nicht.
Dass er behauptet, die angegebene Funktion sei tatsächlich die Umkehrfunktion, reicht für den Korrektor nicht. Das wirst du beweisen müssen. In diesem Zusammenhang wirst du (vermutlich) eine Fallunterscheidung anstellen müssen. Dazu wirst du die beiden Fälle unterscheiden müssen, ob

n

gerade (also als

2 m

darstellbar für ein

m

) oder ungerade (d.h. als

2 m + 1

darstellbar für geeignetes

m

) ist.
Das kann ich dir mit meiner Bijektion auch nicht ersparen. Ich nehme an, dass das im Wesen der Sache liegt.

Ich kann dir allerdings "meine" Idee zur Bijektion erläutern.

Gedacht habe ich mir, dass man für eine Abbildung

f : ℕ \to {10 z ∣ z \in ℤ} = : 10 ℤ

doch nur im Wesentlichen das Argument

n \in ℕ

verzehnfachen muss: "

f

(n) = 10 n

Leider bedeutet das, dass man nur nicht negative Bildwerte erhält.
"

f

(n) = - 10 n

ist auch nicht besser, weil man damit nur "die andere Hälfte" erreicht.

Ok, es muss also eine Unterteilung der natürlichen Zahlen her, eine Halbierung.
Da liegt eigentlich nichts näher als die Menge der natürlichen Zahlen in ihre geraden und ihre ungeraden Zahlen zu unterteilen.
Eine Zahl

n \in ℕ

ist (wie oben angedeutet) genau dann gerade, wenn sie das Doppelte eine (anderen) natürlichen Zahl

m

ist, d.h. wenn

n = 2 m

gilt.
Umgekehrt ist eine Zahl

n \in ℕ

(wie oben angedeutet) genau dann ungerade, wenn sie eins mehr als das Doppelte eine (anderen) natürlichen Zahl

m

ist, d.h. wenn

n = 2 m + 1

gilt.

Damit verknüpfe ich den Ursprungsgedanke (Argument verzehnfachen) mit der Teilung der der natürlichen Zahlen, damit die geraden auf nicht negative Bilder und die ungeraden auf die negativen abgebildet werden.

Wie muss ich das nun machen?
"

f

(n) = 10 n

geht nun (auch) aus dem Grunde nicht mehr, weil ich sonst "Lücken" im Bildbereich erhalte.
Es soll

0 \mapsto 0

2 \ m a p t o 10 = 1 \cdot 10

4 \mapsto 20 = 2 \cdot 10

usw. gelten.
Klar, ich nehme also ein gerades

n

, d.h. ein

2 m

her und bilde es auf das Zehnfache der Hälfte von

n

, also auf das Zehnfache von

m

ab:

f (2 m) = 10 m

Andererseits soll

1 \mapsto - 10 = - 10 \cdot 1

3 \mapsto - 20 = - 10 \cdot 2

5 \mapsto - 30 = - 10 \cdot 3

gelten. Nun wird auch deutlich, dass ich in meinen post vor ein paar Tagen ein bisschen voreilig war (ich bitte um Entschuldigung dafür).
Die erreicht man, indem man

f (2 m + 1) = - 10 \cdot (m + 1)

rechnet.

Was ist nun eigentlich zu tun?

Tja, wenn man also diese Definition der Abbildung

f

hernimmt:

f (n) = {\begin{array}{ll} 10 m, & m = 2 n \\ - 10 (m + 1), & n = 2 m + 1 \end{array}

,
so muss man zeigen, dass

f

sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Die Surjektivität ist relativ einfach. Gib für jedes

y \in 10 ℤ

ein

x \in ℕ

an (formelmäßig), sodass

f (x) = y

gilt.
Die Injektivität muss man wie in der Definition angehen und letztlich eine Fallunterscheidung anstellen.

*** Für den Fall, dass Null (0) KEIN Element von

ℕ

bei euch ist, musst du die Abbildungsvorschrift für die geraden Urbilder geeignet abwandeln.

Alles klar bis hier hin?

Mfg Mic

mueschbrot aktiv_icon

17:56 Uhr, 02.05.2016

+Oh super! Bis hier hin habe ich alles verstanden! Danke für die tolle Antwort! :-)

Wenn ich jetzt die Injektivität suchen möchte, dann muss ich doch im Grunde:

1. Fall

f (2 m) = 10 m

machen

2. Fall

f (2 m + 1) = - 10 (m + 1)

Oder?

Bisher hatten wir das aber nur für solche Dinger wie

f (m)

und

f (n, m)

gemacht... noch nie von

f (2 m)

oder

f (2 m + 1)

. Kann ich mir die Sachen dann einfach rüber ziehen?

Z . B . :

1.Fall

f (m) = \frac{10 m}{2}

\frac{10 m}{2} = \frac{10 m 1}{2}

?

oder geht das gar nicht?

Zur Surjektivität:

Kann ich das dann auch wieder mit einem

w

machen? Also

\exists w \in ℤ

w = f (n)

w = \frac{10 m}{2}

? (für die positiven Zahlen)

mueschbrot aktiv_icon

22:10 Uhr, 02.05.2016

Sooo! Ich hatte heute das Tutorium zu Mathe (tatsächlich

100 x

hilfreicher als Vorlesung und Seminar zusammen.)

Ich versuche es jetzt nochmal...

ℕ \to 10 ℤ

Habe es jetzt ein wenig anders definiert, da mich das oben etwas verwirrt hat.

Ich habe mir nun gedacht:

ℕ \to 10 ℤ

0 \to 0

1 \to - 10

2 \to 10

3 \to - 20

4 \to 20

5 \to - 30

6 \to 30

Also

2 n \to 10 m \land 2 n + 1 \to - 10 m

So, dafür habe ich nun jeweils zwei Funktionen gebildet:

f (n) = : {\frac{10 n}{2},

für

2 n

f (n) = : {\frac{- 10 (n + 1)}{2},

für

2 n + 1

So, das muss ich nun beweisen.

Injektivität:

1. Fall:

2 n

f (n_{1}) = f (n_{2})

\frac{10 n_{1}}{2} = \frac{10 n_{2}}{2}

\to 10 n_{1} = 10 n_{2}

\to n_{1} = n_{2}

Somit für Fall 1 injektiv.

2. Fall:

2 n + 1

f (n_{1}) = f (n_{2})

\frac{- 10 (n_{1} + 1)}{2} = \frac{- 10 (n_{2} + 1)}{2}

\to - 10 (n_{1} + 1) = - 10 (n_{2} + 1)

\to - 10 n_{1} - 10 = - 10 n_{2} - 10

\to n_{1} = n_{2}

Damit auch für Fall 2 injektiv.

3. Fall:

2 n,2 n + 1

f (n_{1}) = \frac{10 n_{1}}{2}

f (n_{2}) = \frac{- 10 (n_{2} + 1)}{2}

n_{1} \to

trifft immer die Hälfte des Zehnfachen einer positiven, ganzen Zahl. Damit werden alle geraden, natürlichen Zahlen verwendet um die positiven Zehnfache der ganzen Zahlen zu treffen.

n_{2} \to

trifft immer die Hälfte des Zehnfachen einer negativen ganzen Zahl

2 m + 1

. Damit werden alle ungeraden, natürlichen Zahlen verwendet um die negativen ganzen Zehnfache zu treffen.

Surjektivität:

1.Fall:

2 n

d \in 10 ℤ = f (n)

d = \frac{10 n}{2}

n = \frac{2 d}{10}

So lässt sich jede gerade natürliche Zahl darstellen um das positive zehnfache einer ganzen Zahl zu erhalten. Zudem ist

d

immer das Zehnfache einer Zahl, wie in der Definition.

2. Fall:

2 n + 1

d \in 10 ℤ = f (n)

d = \frac{- 10 (n + 1)}{2}

n = \frac{2 d - 10}{- 10}

Jede ungerade natürliche Zahl kann durch das einsetzen des Zehnfachen einer negativen Zahl so dargestellt werden.

Somit ist die Abbildung Surjektiv.

Ist das so

i . O

?

Liebe Grüße Mueschbrot

P . s . :

ignoriert meinen Post darüber bitte einfach. :-)

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