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Gleichmäßige Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Tags: Funktionenreihen

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21:13 Uhr, 29.05.2023

Wir betrachten die Folge (fn)n∈N von Funktionen fn :

[

−π, π] →

R,

fn(x)=Summe von

k

bis

n

über

\frac{cos (2 k + 1) x}{{(2 k + 1)}^{2}}

Zeigen Sie, dass die Folge (fn) auf

[

−π, π] gleichmäßig gegen eine stetige Funktion

f :

[

−π, π] →

R

konvergiert.

(b)

Bestimmen Sie eine Reihendarstellung von Integral von π bis -π über

f (x) d x

.

Hinweis:

(a)

Zeigen Sie zunächst, dass die entsprechende Reihe für festes

x

∈

[

−π, π] absolut konvergent ist, um einen Kandidaten

f

fur den Grenzwert der Folge
zu erhalten. Zeigen Sie dann, dass (fn) gleichmäßig gegen

f

konvergiert, sowie die
Stetigkeit von

f

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

21:36 Uhr, 29.05.2023

Hallo,

> "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Dann beginne am besten damit, einen Scan der Originalaufgabenstellung hier einzustellen.
Kein Foto des Bildschirms, nur die Originalaufgabenstellung, die ja vermutlich digital vorliegt.
Bitte am besten so, dass man dabei sich nicht Hals verrenken muss.
Maximale Größe: 500 kB

Ich fürchte, dass deine Summe irgendwie anders lautet.
Denn:

\sum_{k = 0 ?}^{n} \frac{\cos (2 k + 1)}{(2 k + 1)^{2}} x

ist ja auflösbar zu

x \cdot \sum_{k = 0 ?}^{n} \frac{\cos (2 k + 1)}{(2 k + 1)^{2}}

,

Mfg Michael

HAL9000

22:08 Uhr, 29.05.2023

Anmerkung:

f_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{\cos ((2 k + 1) x)}{{(2 k + 1)}^{2}}

ist die

n

-te Partialsumme der Fourierreihe (mit Periode

2 π

) der "Dreieckfunktion"

f (x) = \frac{π^{2}}{8} - \frac{π}{4} \cdot ∣ x ∣

für

x \in [- π, π]

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06:39 Uhr, 30.05.2023

Sorry, ich bin neu hier.

Eminem14 aktiv_icon

06:40 Uhr, 30.05.2023

Kann man das über den Grenzwert zeigen, wenn

n

gegen unendlich geht?

HAL9000

12:16 Uhr, 31.05.2023

Klar ist:

f_{n}

konvergiert, und zwar gleichmäßig auf ganz

ℝ

, denn es gilt für alle

m > n

∣ f_{m} (x) - f_{n} (x) ∣ = ∣ \sum_{k = n + 1}^{m} \frac{\cos ((2 k + 1) x)}{{(2 k + 1)}^{2}} ∣ \leq \sum_{k = n + 1}^{m} \frac{∣ \cos ((2 k + 1) x) ∣}{{(2 k + 1)}^{2}} \leq \sum_{k = n + 1}^{m} \frac{1}{{(2 k + 1)}^{2}}

\leq \sum_{k = n + 1}^{m} \frac{1}{(2 k + 1) (2 k - 1)} = \frac{1}{2 (2 n + 1)} - \frac{1}{2 (2 m + 1)} < \frac{1}{2 (2 n + 1)} \to 0

für

n \to \infty

ohne Abhängigkeit von

x

.

Die Grenzfunktion einer solchermaßen gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen ist wieder stetig.

Zur obigen Funktionsdarstellung siehe z.B. de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe#Dreieckpuls

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